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《等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式》教案
作為一名教師，時(shí)常需要用到教案，借助教案可以恰當(dāng)?shù)剡x擇和運(yùn)用教學(xué)方法，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。教案應(yīng)該怎么寫(xiě)才好呢？以下是小編為大家收集的《等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式》教案，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。
教學(xué)目標(biāo)
A、知識(shí)目標(biāo)：
掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法；掌握公式的運(yùn)用。
B、能力目標(biāo)：
（1）在探索和發(fā)現(xiàn)公式的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力，并促進(jìn)知識(shí)的生成與發(fā)展。
�。�2）通過(guò)巧妙的思維策略，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)觀察、嘗試、分析和類(lèi)比等實(shí)踐活動(dòng)，從特殊情況逐步推導(dǎo)出一般規(guī)律，以培養(yǎng)他們的類(lèi)比思維能力。這樣的過(guò)程能幫助學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的求和公式，并更好地理解其背后的數(shù)學(xué)原理。
�。�3）通過(guò)多角度、多側(cè)面的分析公式，可以培養(yǎng)學(xué)生靈活思維，并提升他們分析和解決問(wèn)題的能力。
C、情感目標(biāo)：（數(shù)學(xué)文化價(jià)值）
（1）公式的發(fā)現(xiàn)反映了普遍性寓于特殊性之中，從而使學(xué)生受到辯證唯物主義思想的熏陶。
�。�2）通過(guò)公式的運(yùn)用，樹(shù)立學(xué)生"大眾教學(xué)"的思想意識(shí)。
（3）通過(guò)引入生動(dòng)的、具體的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，探索數(shù)學(xué)史中那些引人入勝的故事，激發(fā)學(xué)生對(duì)于探究數(shù)學(xué)的興趣和渴望，培養(yǎng)他們追求真理的勇氣和自信心，鞏固學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中的積極心理經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)他們對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)情感。
教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式。
教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的靈活運(yùn)用。
教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)、討論、引導(dǎo)式。
教具：現(xiàn)代教育多媒體技術(shù)。
教學(xué)過(guò)程
一、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課。
師：經(jīng)過(guò)幾節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)了解了等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式以及相關(guān)性質(zhì)。今天我們將進(jìn)一步研究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。提到數(shù)列求和，就會(huì)自然想到德國(guó)著名數(shù)學(xué)家高斯的“神速求和”故事。當(dāng)時(shí)小高斯上小學(xué)四年級(jí)，一次老師布置了一個(gè)數(shù)學(xué)習(xí)題：“將1到100的自然數(shù)相加，結(jié)果是多少？”只有10歲的小高斯稍作思考就得出了答案5050，這讓老師非常吃驚。那么高斯是如何巧妙計(jì)算出來(lái)的呢？如果你們能理解他那種巧妙的計(jì)算方法，那么你們就是二十一世紀(jì)的新高斯。（老師觀察學(xué)生表情后，將問(wèn)題縮小為十分之一）�，F(xiàn)在我們來(lái)看一個(gè)例題。
例1，計(jì)算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.
這道題除了累加計(jì)算以外，還有沒(méi)有其他有趣的解法呢？小組討論后，讓學(xué)生自行發(fā)言解答。
生1:因?yàn)?+10=2+9=3+8=4+7=5+6，所以可湊成5個(gè)11，得到55。
生2：可設(shè)S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，根據(jù)加法交換律，又可寫(xiě)成 S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。
上面兩式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110
10個(gè)
所以我們得到S=55，即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
師：高斯神速計(jì)算出1到100所有自然數(shù)的各的方法，和上述兩位同學(xué)的方法相類(lèi)似。
理由是：1+100=2+99=3+98=......=50+51=101，有50個(gè)101，所以1+2+3+......+100=50×101=5050。請(qǐng)同學(xué)們想一下，上面的方法用到等差數(shù)列的哪一個(gè)性質(zhì)呢？
生3：數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq.
二、教授新課（嘗試推導(dǎo)）
師：已知等差數(shù)列的第一項(xiàng)為a1，項(xiàng)數(shù)為n，最后一項(xiàng)為an。根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，我們可以推導(dǎo)出它的前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算公式。首先，我們知道等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an = a1 + (n-1)d其中，d為等差數(shù)列的公差。接下來(lái)，我們將等差數(shù)列的所有項(xiàng)按照相反的順序排列，并將原數(shù)列與反向數(shù)列相加，得到一個(gè)新的等差數(shù)列，每一項(xiàng)都是a1+an。例如，對(duì)于等差數(shù)列a1, a2, a3, ..., an，與之對(duì)應(yīng)的反向數(shù)列為an, an-1, ..., a1。將兩個(gè)數(shù)列按位相加，得到新的等差數(shù)列2a1+d, 2a2+d, 2a3+d, ..., 2an+d。將兩個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)分別相加，得到：(2a1+d) + (2a2+d) + (2a3+d) + ... + (2an+d) = 2(a1+a2+a3+...+an) + nd由于等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn表示為a1+a2+a3+...+an，所以我們可以將上述等式改寫(xiě)為：(2a1+d) + (2a2+d) + (2a3+d) + ... + (2an+d) = 2Sn + nd進(jìn)一步整理得：2Sn + nd = n(2a1 + (n-1)d)化簡(jiǎn)可得：Sn = n/2 * (a1+an)因此，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算公式為Sn = n/2 * (a1+an)。感謝同學(xué)們的參與，現(xiàn)在請(qǐng)一位同學(xué)來(lái)板演推導(dǎo)過(guò)程。
生4：Sn=a1+a2+......an-1+an也可寫(xiě)成
Sn=an+an-1+......a2+a1
兩式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)
n個(gè)
=n(a1+an)
所以Sn=(I)
師：好！如果已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，項(xiàng)數(shù)為n，則an=a1+(n-1)d代入公式(1)得
Sn=na1+ d(II)
上面（I）、（II）這兩個(gè)式子可以被稱(chēng)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。公式（I）是基本的，我們可以觀察到它與梯形面積公式（上底下底）×高÷2相似。在這里，等差數(shù)列中的首項(xiàng)a1代表了梯形的上底，第n項(xiàng)an代表了梯形的下底，而項(xiàng)數(shù)n則代表了梯形的高。通過(guò)這種類(lèi)比，我們可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)：這些公式中涉及了幾個(gè)量？（a1，d，n，an，Sn），它們之間有哪些關(guān)系？［an=a1(n-1)d，Sn=na1d］；另外，這些量中有幾個(gè)是可以自由變化的？（三個(gè)）從而可以得知：只要我們知道其中任意三個(gè)量，就可以求解出其他兩個(gè)量。接下來(lái)，我們將舉一些例子來(lái)說(shuō)明公式（I）和（II）的一些應(yīng)用。請(qǐng)您謝謝！
三、公式的應(yīng)用（通過(guò)實(shí)例演練，形成技能）。
1、直接代公式（讓學(xué)生迅速熟悉公式，即用基本量觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)公式）例2、計(jì)算：
�。�1）1+2+3+......+n
（2）1+3+5+......+(2n-1)
�。�3）2+4+6+......+2n
�。�4）1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n
請(qǐng)同學(xué)們先完成（1）-（3），并請(qǐng)一位同學(xué)回答。
生5：直接利用等差數(shù)列求和公式（I），得
（1）1+2+3+......+n=
�。�2）1+3+5+......+(2n-1)=
�。�3）2+4+6+......+2n==n(n+1)
師：第（4）小題數(shù)列共有n項(xiàng)。該數(shù)列是否為等差數(shù)列需要根據(jù)給出的信息進(jìn)行判斷，而在題目中并沒(méi)有給出具體的數(shù)列項(xiàng)或規(guī)律，所以無(wú)法確定它是否為等差數(shù)列。不能直接運(yùn)用Sn公式求解，因?yàn)镾n公式是用來(lái)求解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式，需要知道數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)才能使用該公式計(jì)算。如果無(wú)法確定數(shù)列是否為等差數(shù)列，可以嘗試找出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)題目給出的條件計(jì)算出具體的數(shù)列項(xiàng)。如果無(wú)法找到通項(xiàng)公式，可以逐項(xiàng)計(jì)算數(shù)列的項(xiàng)。
生6：（4）中的數(shù)列共有2n項(xiàng)，不是等差數(shù)列，但把正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)分開(kāi)，可看成兩個(gè)等差數(shù)列，所以
原式=［1+3+5+......+(2n-1)］-(2+4+6+......+2n)
=n2-n(n+1)=-n
生7：上題雖然不是等差數(shù)列，但有一個(gè)規(guī)律，兩項(xiàng)結(jié)合都為-1，故可得另一解法：
原式=-1-1-......-1=-n
n個(gè)
師：非常好！在解題時(shí)我們應(yīng)該仔細(xì)觀察，并尋找規(guī)律，通常能夠找到更好的方法。此外，在運(yùn)用Sn公式時(shí)需要注意確切地確定等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，否則很可能會(huì)得出錯(cuò)誤的答案。
例3、（1）數(shù)列{an}是公差d=-2的等差數(shù)列，如果a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，求a1，d，S10。
生8：（1）由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12，即a1+d=4
又∵d=-2，∴a1=6
∴S12=12 a1+66×（-2）=-60
生9：（2）由a1+a2+a3=12，a1+d=4
a8+a9+a10=75，a1+8d=25
解得a1=1，d=3 ∴S10=10a1+=145
師：通過(guò)以上示例題，我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。該公式中包含了5個(gè)變量。當(dāng)已知其中三個(gè)變量時(shí)，我們可以利用構(gòu)建方程或方程組的方法來(lái)求解另外兩個(gè)未知變量（即已知三求二）。請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)第三個(gè)例題自行編寫(xiě)類(lèi)似的練習(xí)題，作為本課外練習(xí)的內(nèi)容。在下節(jié)課時(shí)，我們將進(jìn)行交流和討論。
師：（繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生，將第（2）小題改編）
�、贁�(shù)列{an}等差數(shù)列，若a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，且Sn=145，求a1，d，n
②是否一定非得求得a1，d呢？引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)，用整體思想考慮求S10的值。
2、用整體觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)Sn公式。
例4，在等差數(shù)列{an}， （1）已知a2+a5+a12+a15=36，求S16；（2）已知a6=20，求S11。（教師啟發(fā)學(xué)生解）
師：來(lái)看第（1）小題，寫(xiě)出的計(jì)算公式S16==8(a1+a6)與已知相比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？
生10：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18，所以S16=8×18=144。
師：是的！這個(gè)問(wèn)題需要應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)來(lái)解決。根據(jù)已知的等式，我們無(wú)法直接求出a1，a16和d的值。但是我們可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)來(lái)計(jì)算出a1與an（第16項(xiàng)）的和。這種思路充分展示了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的整體思維能力。
師：由于時(shí)間有限，我們將對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn進(jìn)行深入分析，并引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)當(dāng)d≠0時(shí)，Sn可以表示為n的二次函數(shù)。然后，我們會(huì)從二次（或一次）函數(shù)的角度來(lái)解釋Sn公式的意義，指引同學(xué)們?cè)谡n外繼續(xù)思考這個(gè)問(wèn)題。
最后請(qǐng)大家課外思考Sn公式（1）的逆命題：
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)于所有自然數(shù)n，都有Sn=。數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由。
四、小結(jié)與作業(yè)。
師：接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)們一起來(lái)小結(jié)本節(jié)課所講的內(nèi)容。
生11：1、用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。
2、用所推導(dǎo)的兩個(gè)公式解決有關(guān)例題，熟悉對(duì)Sn公式的運(yùn)用。
生12：1、運(yùn)用Sn公式要注意此等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n的值。
2、具體用Sn公式時(shí)，要根據(jù)已知靈活選擇公式（I）或（II），掌握知三求二的解題通法。
3、當(dāng)已知條件不足以求解等差數(shù)列的首項(xiàng)a1和公差d時(shí)，我們需要仔細(xì)觀察，并靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，嘗試使用整體思維的方法來(lái)求解數(shù)列的第n項(xiàng)an。
師：通過(guò)以上幾個(gè)例子，我們可以看到在解題過(guò)程中靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和性質(zhì)的重要性。同時(shí)，我們也應(yīng)該糾正那種不明理由盲目套用公式的學(xué)習(xí)方法。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，希望大家能夠成為一個(gè)有心人，積極主動(dòng)地去發(fā)現(xiàn)更多的性質(zhì)，并努力學(xué)習(xí)掌握它們。
本節(jié)所滲透的數(shù)學(xué)方法；觀察、嘗試、分析、歸納、類(lèi)比、特定系數(shù)等。
數(shù)學(xué)思想：類(lèi)比思想、整體思想、方程思想、函數(shù)思想等。
作業(yè)：P49：13、14、15、17
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