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教育統(tǒng)計與測量評價作業(yè)-(1-3)
第一次作業(yè)
一、請舉例說明什么是稱名、順序、等距、等比數據及它們之間的區(qū)別。
答：根據數據所反映的變量的性質，可把數據分為稱名變量數據、順序變量數據、等距變量數據和比率變量數據。
1.稱名變量。稱名變量只說明某一事物與其他事物在名稱、類別或屬性上的不同，并不說明事物與事物之間差異的大小、順序的先后。例如，人的性別分成男與女；人對衣服顏色的傾向性選擇有紅色、黃色、藍色、白色、黑色等；人的氣質可分為多血質型、膽汁質型、粘液質型和抑郁質型；而人的血型則可分為A型、B型、O型等。 在資料管理與科學研究中，常需要采用一定的規(guī)則對稱名變量的觀察結果進行人為的賦值與編碼，從而得到稱名變量數據。如前述的性別數據，用數字符號“1”表示男性，用數字符號“0”表示女性（當然也可以用其他數字符號表示）；以及用6位數字組成全國各地的郵政編碼等,皆是稱名變量數據。這些數據僅是類別符號而已,沒有在量方面的實質性意義,一般不能對這類數據進行加、減、乘、除運算，但通�？蓪γ恳活悇e計算次數或個數等。
2.順序變量。 順序變量是指可以就事物的某一屬性的多少或大小按次序將各事物加以排列的變量，具有等級性和次序性的特點。例如，對學生的閱讀能力可劃分為好、中、差三個等級；態(tài)度等級可劃分為“贊成、傾向贊成、中立、傾向反對、反對”這 5個等級；對體育運動會中各個項目上的表現可以用名次“第1名、第2名、第3 名??”來表示；還有，心理測驗結果常用“拾點量表”或“玖點量表”來表示測驗得分高低等級順序;學校常采用“五級記分制”來評定學生的學習成績等，皆是順序變量的具體表現。不難看出，順序變量的觀測結果有些是直接用序數等級來表示事物屬性的多少與大小，另外有些觀測結果則是用有序的類別來區(qū)分事物屬性的差異。在實際應用和研究中，常用有序的整數或自然數來表示順序變量的各種觀測結果，從而得到順序變量數據。例如,可用“5，4，3，2，1”來表示對某個問題所持贊成還是反對態(tài)度之間的5個不同等級；可用“3，2,1”或“5，3，1”等數字序列來表示閱讀能力的“好、中、差”三個等級。值得指出的是，順序變量數據之間雖有次序與等級關系，但這種數據之間不具有相等的單位，也不具有絕對的數量大小和零點。因此，只能進行順序遞推運算。如，“因為A優(yōu)于B，B優(yōu)于C，所以A優(yōu)于C”的運算結果充其量只是反映位次順序的關系而已。
3.等距變量。等距變量除能m.clearvueentertainment.com表明量的相對大小外,還具有相等的單位。事實上，日常生活或生產中使用的溫度計算所測出的氣溫量值就是等距變量數據。例如測氣溫量值，星期一為20℃，星期二22℃，星期三24℃。則我們可以知道星期三氣溫高于星期二，星期二氣溫又高于星期一；而且我們還可以從實質性的角度說明相鄰兩天氣溫之差是相等的。等距變量觀測數據的單位是相等的，但零點卻是相對的。如氣溫0℃,并不表示沒有冷熱，而是特定的相對的冰點溫度，若在華氏溫度計或其他類型的溫度計測定下，這里的0℃就不再是零。在教育測量中,人們有時用標準分數來反映人的能力相對高低，這種情形下所得到的測量結果也是一種等距變量數據。由于這類數據的零點是相對的，因此，對這類數據一般不能用乘、除法運算來反映兩個數據（兩個個體在某種能力屬性）之間的倍比關系。比如，不能說20℃的氣溫是10℃氣溫時的“兩倍”那么熱。
4.比率變量。比率變量除了具有量的大小、相等單位外,還有絕對零點。例如,學生身高、體重的測量數據等，皆可以看成是比率變量數據。比率變量數據可以進行加、減、乘、除運算,允許人們用乘、除法處理數據,以便對不同個體的測量結果進行比較，并作比率性（即倍比關系）描述。例如，一位學生在20歲時身高180厘米,而他3歲時身高是90厘米,我們可以說， 20歲時的身高是他3歲時身高的兩倍。反過來可以說，他3歲時的身高已是20歲時身高的一半（1/2倍）。
二、如何編制次數分布表（請寫出主要步驟）？
答：統(tǒng)計學中的次數分布表有簡單次數分布表、相對次數分布表、累積次數分布表以及累積相對次數分布表等多種形式。
1) 簡單次數分布表。
簡單次數分布表，通常簡稱為次數分布表，其實質是反映一批數據在各等距區(qū)組內的次數分布結構。
①求全距
所謂全距乃是一批數據中最大值與最小值之間的差距。觀察全部數據，找出其中的最大值（Xmax）和最小值（Xmin）,以符號R表示全距，則全距的計算公式為：
R= Xmax－Xmin （1-1） 故，全距在有的書中也稱為兩極差。 ②定組數
定組數就是要確定把整批數據劃分為多少個等距的區(qū)組。組數用符號K表示,它的大小要看數據的多少而定。一般來說，當一批數據的個數在200個以內時，組數可取8～18組。如果數據來自一個正態(tài)的總體，則可利用下述經驗公式來確定組數，即：
（1-2）
上述公式中的N為數據個數。 ③定組距i ＝R／K
在知道全距R和組數K之后，就可以來確定分組的組距。用符號i 表示，其一般原則是取奇數或5的倍數，如1，3，5，7，9，10等。具體的取值辦法，可通過全距R與組數K的比值來取整確定。
④寫出組限
組限是每個組的起止點界限，有表述組限和實際組限之區(qū)別。在教育與心理統(tǒng)計學文獻中，組限的表述方法主要有兩種。兩種組限表述方法意義不盡相同。
第一種方法以連續(xù)的形態(tài)表述組限，每一組實際組限是“左閉右開”的區(qū)間范圍。如“10～15”和“15～20”這兩組，其實際組限是指[10，15）和[15，20）的區(qū)間范圍。
第二種方法以跳躍的形態(tài)表述組限,在相鄰組別中形成“缺口”,例如，“10～14”和“15～19”這兩組在相鄰處不連續(xù)，從14跳躍到15時留下的“1”個單位缺口。對于這種表述組限,其實際組限分別是指[9.5，14.5]和[14.5，19.5]的區(qū)間范圍 。
⑤求組中值
組中值是各組的組中點在量尺上的數值，其計算公式為：
組中值=（組實上限+組實下限）÷2 （1-3）
不同的組距以及不同的組限，必然會產生不同的組中值。如果希望每組的組中值恰好為整數便于后繼運算，那么，組距選擇為奇數是最好的。
⑥歸類劃記
完成上述各個步驟后，我們就可以設計一個表的格式來記錄上述有關結果并對數據進行 歸類劃記。 ⑦登記次數
根據劃記結果，點計各組的次數，記入次數欄。
當我們把組別、組中值和次數值拼在一起時，就構成簡單次數分布表。
2) 相對次數分布表
相對次數就是各組的次數
與總次數N之間的比值，若以表示 相對次數，則相對次數的計算公式為：
（1-3）
把組別、組中值和次數值拼在一起時，就構成次數分布表。
相對次數分布表與簡單次數發(fā)布表各有不同的用途，它們既可單獨使用，又可聯合使用。當我們主要對各組的絕對次數感興趣時，則可編制簡單次數分布表。
相對次數分布表主要能反映各組數據的百分比結構，當我們側重關心各組次數的相對比例結構時,通常要編制相對次數分布表。
3) 累計次數分布表
假如我們希望通過一個統(tǒng)計表，就能較方便地了解到處于某個數值以下的數據個數有多少時，就可編制一個累積次數分布表。
把組別、組中值和累積次數值拼在一起時，就構成累積次數分布表。
4) 累積相對次數分布表和累積百分數分布表
前面介紹的累積次數分布是對簡單次數進行累積的結果。與此相對應的是，還可對相對次數進行累積。 累積相對次數分布和累積百分數分布在心理與教育測量研究中有廣泛而又重要的應用。
值得一提的是,累積相對次數分布和累積百分數分布均有“以下”分布和“以上”分布兩種，在應用時，應根據具體情況決定選用其中的一種。
三、舉例說明實際組限與表述組限的區(qū)別
答：組限是每個組的起止點界限，有表述組限和實際組限之區(qū)別。在教育與心理統(tǒng)計學文獻中，組限的表述方法主要有兩種， 如表1-3所示。兩種組限表述方法意義不盡相同。
表1-3 組限的表述方法及實際區(qū)間范圍
第一種方法以連續(xù)的形態(tài)表述組限，每一組實際組限是“左閉右開”的區(qū)間范圍。如“10～15”和“15～20”這兩組，其實際組限是指[10，15）和[15，20）的區(qū)間范圍。
第二種方法以跳躍的形態(tài)表述組限,在相鄰組別中形成“缺口”,例如，“10～14”和“15～19”這兩組在相鄰處不連續(xù)，從14跳躍到15時留下的“1”個單位缺口。對于這種表述組限,其實際組限分別是指[9.5，14.5﹚和[14.5，19.5﹚的區(qū)間范圍 。
四、某次高考模擬試卷高一的5名學生做所用時間分別為170、120、110、160、130分鐘；高三的5名學生做所用時間分別為50、70、90、55、45分鐘；問高一和高三哪一組離散程度大？ 答：高一用時平均值：x1=（170+120+110+160+130）÷5=138 高三用時平均值：x2=（50+70+90+55+45）÷5=62
22222
高一用時離差平方和：∑1 =（170-138）+（120-138）+(110-138) +(160-138) +(130-138)
= 1024+324+784+484+64=2680
22222
高三用時離差平方和：∑2 =（50-62）+（70-62）+(90-62) +(55-62) +(45-62)
=144+64+784+49+289=1330
高一用時標準差：S1=Sqrt(2680÷5) =23.15167 高三用時標準差：S2=Sqrt(1330÷5)=16.30950
兩者對比，高三標準差比高一用時標準差差距較小所以高一用時離散程度較大。
第二次作業(yè)
1、某次考試全班學生數學平均分為90，標準差為8，語文平均分為80，標準差為10，外語平均分為78，標準差為14，有一學生數學、語文和外語分別考了82、80和85分，問該同學那科成績最好？該同學這三門課在班級的位置如何？（即百分比是多少）
答：把三科原始成績轉換成標準分： 數學：
Z數=（82-90）÷8=-1 語文：
Z語=（80-80）÷10=0 英語：
Z英=（85-78）÷14=0.50
Z英> Z語> Z數,可見這個學生外語成績最好。
根據Z數=（82-90）÷8=-1，查表得p值為0.34134，也就是數學成績比班上15.866%的人要好； 根據Z語=（80-80）÷10=0，查表得p值為0.00000，也就是語文成績比班上50.000%的人要好； 根據Z英=（85-78）÷14=0.50，查表得p值為0.19146，也就是英語成績比班上69.146%的人要好。
考慮標準差，數學有82-98，語文70-90，外語64-92
這個學生成績數學82，最低的；語文80，中等；外語85，中等偏上。
按百分之計算方法，中等偏上位置=（85-64）/（92-64）=75%，即在中與上的中間
評定：這個學生數學拿了最低，占分數比例0%，語文中，占分數比例50%，外語拿了中偏上，占分數比例75%，平均成績=（0%+50%+75%）/3=42%，中等偏下（50%是中等）。
解：（1）求答對第二題的比率p和答錯的比率q： p=6÷10=0.6 q=1-p=0.4
(2)求X1和X2，分別為答對和答錯第二題學生成績的平均數： X1=(75+57+73+65+63+67) ÷6=66.67
X2=（67+56+61+65）÷4=62.25
(3) 求σx,所有考生的總分的標準差：
平均分X=（75+57+73+65+63+67+67+56+61+65）÷10=64.9 2222222222σx=[（75-X）+（57-X）+（73-X）+（65-X）+（67-X）+（56-X）+（63-X）+（61-X）+（65-X）+
2
（67-X）] ÷10=33.69
σx=5.8
(4) 求點二列相關系數r：
r=Sqrt（0.6×0.4）×【（66.67-62.25）÷5.8】=0.373 即該試卷第二題的區(qū)分度為0.373。
第三次作業(yè)
1.統(tǒng)計假設檢驗的基本原理是什么？
簡單地說，統(tǒng)計假設檢驗就是從概論與數理統(tǒng)計學的角度出發(fā)，以樣本觀測數據為事實，對所建立的有關假設的真?zhèn)芜M行統(tǒng)計思想檢驗和決策。
概括起來說，統(tǒng)計假設檢驗就是一種帶有概率值保證的反證法。反證法是大家熟悉的一種邏輯推理證明方法。有些命題從正面進行推論難以證明，但證明它的否命題卻往往事半功倍，這就是反證法的思想方法。這樣做的理由是從邏輯上說，否命題不成立，則其原命題就自然成立。反證法在數學證明中應用比較多。比如說，原來的目的是要證明線段α大于線段b，但證明者不直接證明α>b,而是找出它的否命題α≤b,假設其成立，然后進行推論，推論至最后得出一個荒謬的結果，或者得到一個與已知條件不符的結果，假設整個推論的各個步驟都是嚴密正確的,那么謬誤的產生就只有源自于作為推論條件的假設，從而證明了假設是錯誤的。所以反證法的邏輯就是：證明了作為否命題的假設的錯誤，那么原命題就自然正確了。 統(tǒng)計假設檢驗從邏輯過程看也是一種反證法。統(tǒng)計檢驗人員常常希望證明備擇假設是正確的，但他卻不直接證明備擇假設的正確性，而是從與備擇假設對立的虛無假設出發(fā)，以虛無假設為條件，采集樣本數據，確定抽樣分布，計算檢驗統(tǒng)計量,考察檢驗計量取值的概率，如果最終發(fā)現這是一個小概率事件，那就要根據小概率事件原理推翻原虛無假設。當然，研究者必須保證在整個過程中除所作虛無假設之外的一切工作都是嚴密、科學的。虛無假設與備擇假設是一對互否命題，也就是我們前面所說的他們是非此即彼的，推翻了虛無假設，備擇假設就自然成立了。 這就是統(tǒng)計假設檢驗應用反證法的 “反證”過程。 所謂帶有概率值保證是指上 述的用反 證的方法作的統(tǒng)計假設檢驗,最終推翻虛無假設也即由于所求檢驗統(tǒng)計量的取值為一小概率事件，而根據小概率事件原理推翻虛無假設。我們知道，根據小概率事件原理作決策判斷是一種科學的正確的決策思想方法，但并不保證每次的決策都是正確。換句話說，這一推翻虛無假設的決策也是可能犯錯誤的，只是犯錯誤的概率比較小而決策正確的概率比較大，而且這個決策正確的概率是由我們控制，是可以計算的。這就是統(tǒng)計假設檢驗“帶有概率值保證”的含義。
2.統(tǒng)計假設檢驗的步驟是什么？
我們可以將統(tǒng)計假設檢驗的步驟歸納如下：
（1）根據題目的設問提出檢驗假設。 （2）選定顯著性水平α。
（3）寫出檢驗統(tǒng)計量計算公式并按已知數據條件計算檢驗統(tǒng)計量值。
（4）根據顯著性水平α在Z分布或t分布中確定臨界值和危機域，危機域通常在概率分布的兩個尾部，是小概率事件所在地。
（5）將求得的檢驗統(tǒng)計量值與臨界值作比較，根據其是否進入危機域而作出是否拒絕虛無假設的統(tǒng)計結論。
3.書P158第五大題的第一小題
隨機抽取文、理兩科大學生各一組參加一種推理測驗，已知測驗成績服從正態(tài)分布且總體方差相等。測驗數據為：文科生13名，平均得分85分，標準差11分；理科生15名，平均得分82分，標準差9分。請問文理兩科大學生在這個推理測驗上的得分有無顯著差異？（a=0.05）
解：H0：u文=u理 H1:u文≠u理
222222 222
然后令T=(X-Y)/Sqrt[S1÷n1+S2÷n2]，于是T服從df=(S1÷n1+S2÷n2)/[(S1÷n1)÷n1+(S2÷n2)÷n2]的t分布帶入數據得到T=0.782，df=14851460/590999∈(25,26)，這里做雙邊檢驗，查表得到t_0.025(df)>t_0.025(26)=2.056>T，所以無法拒絕H0，可以認為沒有顯著差異。
1、提出假設
H0：u文=u理 H1:u文≠u理 2、計算Z值
Z=
X1-X2
σ1
N1
=0.782
+
σ2
N2
=
85-8281
+1315
式中：X1,X2分別表示兩個樣本的平均數 σ1，σ2分別表示兩個樣本標準差的平方
N1,N2分別表示兩個樣本的容量
3、檢驗并統(tǒng)計判決
由于Z=0.782<1.96 即P>0.05
所以文理兩科大學生的得分無顯著差異。
H0:u1=u2，H1：u1≠u2
然后令T=(X-Y)/Sqrt[S12/n1+S22/n2]，于是T服從
df=(S12/n1+S22/n2)2/[(S12/n1) 2/n1+(S22/n2)2/n2]的t分布帶入數據得到T=0.782，df=14851460/590999∈(25,26)這里做雙邊檢驗，查表得到t_0.025(df)>t_0.025(26)=2.056>T，所以無法拒絕H0，可以認為沒有顯著差異
H0:u1=u2，H1：u1≠u2
H0：u文=u理 H1:u文≠u理
22222
然后令T=(X-Y)/Sqrt[S1÷n1+S2÷n2]，于是T服從df=(S1÷n1+S2÷n2)/[(S1÷n1) 2
÷n1+(S22÷n2)2÷n2]的t分布帶入數據得到T=0.782，df=14851460/590999∈(25,26)，這里做雙邊檢驗，查表得到t_0.025(df)>t_0.025(26)=2.056>T，所以無法拒絕H0，可以認為沒有顯著差異。
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