一元二次方程的解法

時(shí)間:2023-05-02 02:29:20 初中數(shù)學(xué)教案 我要投稿
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一元二次方程的解法

教學(xué)目標(biāo) 

1.  初步掌握用直接開(kāi)平方法解一元二次方程,會(huì)用直接開(kāi)平方法解形如 的方程;

2.  初步掌握用配方法解一元二次方程,會(huì)用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程;

3.  掌握一元二次方程的求根公式的推導(dǎo),能夠運(yùn)用求根公式解一元二次方程;

4.  會(huì)用因式分解法解某些一元二次方程。

5.  通過(guò)對(duì)一元二次方程解法的教學(xué),使學(xué)生進(jìn)一步理解“降次”的數(shù)學(xué)方法,進(jìn)一步獲得對(duì)事物可以轉(zhuǎn)化的認(rèn)識(shí)。

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn):一元二次方程的四種解法。

難點(diǎn):選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠獭?/p>

教學(xué)建議:

一、教材分析:

1.知識(shí)結(jié)構(gòu):一元二次方程的解法

2.重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

(1)熟練掌握開(kāi)平方法解一元二次方程

用開(kāi)平方法解一元二次方程,一種是直接開(kāi)平方法,另一種是配方法。

如果一元二次方程的一邊是未知數(shù)的平方或含有未知數(shù)的一次式的平方,另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù),或完全平方式,如方程 , 和方程 就可以直接開(kāi)平方法求解,在開(kāi)平方時(shí)注意取正、負(fù)兩個(gè)平方根。

配方法解一元二次方程,就是利用完全平方公式,把一般形式的一元二次方程,轉(zhuǎn)化為 的形式來(lái)求解。配方時(shí)要注意把二次項(xiàng)系數(shù)化為1和方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方這兩個(gè)關(guān)鍵步驟。

(2)熟記求根公式 ( )和公式中字母的意義在使用求根公式時(shí)要注意以下三點(diǎn):

1)把方程化為一般形式,并做到 、 、 之間沒(méi)有公因數(shù),且二次項(xiàng)系數(shù)為正整數(shù),這樣代入公式計(jì)算較為簡(jiǎn)便。

2)把一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù) 、 、 代入公式時(shí),注意它們的符號(hào)。

3)當(dāng) 時(shí),才能求出方程的兩根。

(3)抓住方程特點(diǎn),選用因式分解法解一元二次方程

如果一個(gè)一元二次方程的一邊是零,另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式時(shí),就可以用因式分解法求解。這時(shí)只要使每個(gè)一次因式等于零,分別解兩個(gè)一元一次方程,得到兩個(gè)根就是一元二次方程的解。

我們共學(xué)習(xí)了四種解一元二次方程的方法:直接開(kāi)平方法;配方法;公式法和因式分解法。解方程時(shí),要認(rèn)真觀察方程的特征,選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼狻?/p>

二、教法建議

1. 教學(xué)方法建議采用啟發(fā)引導(dǎo),講練結(jié)合的授課方式,發(fā)揮教師主導(dǎo)作用,體現(xiàn)學(xué)生主體地位,學(xué)生獲取知識(shí)必須通過(guò)學(xué)生自己一系列思維活動(dòng)完成,啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問(wèn)題,有利于培養(yǎng)學(xué)生思維靈活、嚴(yán)謹(jǐn)、深刻等良好思維品質(zhì).

2. 注意培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí).教學(xué)中應(yīng)不失時(shí)機(jī)地使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)源于實(shí)踐并反作用于實(shí)踐.

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

教學(xué)目標(biāo) 

1. 使學(xué)生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0, b≠0, c≠0)可以轉(zhuǎn)化為適合于直接開(kāi)平方法的形式(x+m)2=n;

2. 在理解的基礎(chǔ)上,牢牢記住配方的關(guān)鍵是“添加的常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”;

3. 在數(shù)學(xué)思想方法方面,使學(xué)生體會(huì)“轉(zhuǎn)化”的思想和掌握配方法。

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn):掌握用配方法解一元二次方程。

難點(diǎn):湊配成完全平方的方法與技巧。

教學(xué)過(guò)程 設(shè)計(jì)

一 復(fù)習(xí)

1.完全的一元二次方程的一般形式是什么樣的?(注意a≠0)

2.不完全一元二次方程的哪幾種形式?

(答:只有三種ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a≠0))

3.對(duì)于前兩種不完全的一元二次方程ax2=0 (a≠0)和ax2+c=0 (a≠0),我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了它們的解法。

特別是結(jié)合換元法,我們還會(huì)解形如(x+m) 2=n(n≥0)的方程。

例  解方程:(x-3) 2=4  (讓學(xué)生說(shuō)出過(guò)程)。

解:方程兩邊開(kāi)方,得  x-3=±2,移項(xiàng),得  x=3±2。

所以  x1=5,x2=1.      (并代回原方程檢驗(yàn),是不是根)

4.其實(shí)(x-3) 2=4是一個(gè)完全的一元二次方程,我們把原方程展開(kāi)、整理為一元二次方程。(把這個(gè)展開(kāi)過(guò)程寫在黑板上)

(x-3) 2=4,     ①

x2-6x+9=4,   ②

x2-6x+5=0.    ③

二 新課

1.逆向思維

我們把上述由方程①→方程②→方程③的變形逆轉(zhuǎn)過(guò)來(lái),可以發(fā)現(xiàn),對(duì)于一個(gè)完全的一元二次方程,不妨試試把它轉(zhuǎn)化為(x+m) 2=n的形式。這個(gè)轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是在方程左端構(gòu)造出一個(gè)未知數(shù)的一次式的完全平方式(x+m) 2。

2.通過(guò)觀察,發(fā)現(xiàn)規(guī)律

問(wèn):在x2+2x上添加一個(gè)什么數(shù),能成為一個(gè)完全平方(x+?)2。   (添一項(xiàng)+1)

 即   (x2+2x+1)=(x+1) 2.

練習(xí),填空:

x2+4x+( )=(x+  ) 2;     y2+6y+(  )=(y+  ) 2.

算理  x2+4x=2x·2?,所以添2的平方,y2+6y=y2+2y3?,所以添3的平方。

總結(jié)規(guī)律:對(duì)于x2+px,再添上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,就能配出一個(gè)含未知數(shù)的一個(gè)次式的完全平方式。即 .+ ( ) ④

     (讓學(xué)生對(duì)④式的右邊展開(kāi),體會(huì)括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)與第二項(xiàng)乘積的2倍,恰是左邊的一次

項(xiàng),括號(hào)內(nèi)第二項(xiàng)的平方,恰是配方時(shí)所添的常數(shù)項(xiàng))

  項(xiàng)固練習(xí)(填空配方)

 

     總之,左邊的常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。

     問(wèn):如果左邊的一次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù),那么右邊括號(hào)里第二項(xiàng)的正負(fù)號(hào)怎么取?算理是什么?

    鞏固練習(xí)(填空配方)

     x2-bx+(  )=(x-  ) 2;            x2-(m+n)x+(  )=(x-  ) 2.

一元二次方程的解法

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