《連接圖形中的規(guī)律》課堂實(shí)錄
【片斷一】
老師以火柴棒做實(shí)驗(yàn)，一邊讓學(xué)生思考，一邊動(dòng)畫(huà)演示：搭一個(gè)三角形要用幾根火柴棒？連著搭兩個(gè)三角形要用幾根火柴棒？從中引出“公共邊”概念。
師：……再搭出第三個(gè)三角形又用了幾根火柴棒？一共用了多少根？照這樣從左往右，一共擺出10個(gè)三角形一共需要多少根火柴棒？?jī)扇撕献�，一人擺，一人記，把記錄單填寫(xiě)完整。（表單包含三角形的個(gè)數(shù)、擺成的圖形、火柴棒的根數(shù)等項(xiàng)目，圖略）
學(xué)生操作，擺三角形，依次完成表格填寫(xiě)，交流反饋。
師：觀(guān)察上表，你有什么發(fā)現(xiàn)？
生1：擺一個(gè)三角形要三根，接下來(lái)擺兩個(gè)三角形就是3＋2根。
生2：我發(fā)現(xiàn)每次擺了以后都是增加2根。
生3：都是單數(shù)。
生4：有幾個(gè)三角形就有幾個(gè)三根，然后再減去三角形的個(gè)數(shù)再減去一。
師：我們擺十個(gè)三角形用21根火柴棒，如果要擺100個(gè)、1000個(gè)這樣連接的三角形，你還愿意這樣一邊擺、一邊數(shù)嗎？那怎么辦？
生5：用圖形的數(shù)量減1，然后乘以2，再加3。
師：讓我們來(lái)驗(yàn)證他的解法。以擺10個(gè)這樣的連接三角形為例，用了多少根火柴棒？
生：3×10－9＝21根。（板書(shū)）
師：你為什么先3×10？
生：先假設(shè)擺10個(gè)獨(dú)立的三角形。（師演示課件）
師：一共需要去掉重復(fù)的幾根火柴棒？公共邊的條數(shù)和三角形的個(gè)數(shù)有什么關(guān)系？還有不同的想法嗎？
生：3＋9×2＝21根（板書(shū)）。先算出擺一個(gè)三角形需要三根，接下來(lái)還要擺9個(gè)三角形，因?yàn)橛幸粭l公共邊，所以每個(gè)三角形只要2根。（師演示）
師：這種想法實(shí)際是先分類(lèi)，把第一個(gè)三角形放邊上，第一個(gè)三角形和后面的9個(gè)三角形不一樣。分類(lèi)思想在數(shù)學(xué)中經(jīng)常會(huì)用到。還有不同想法嗎？
生：2×10＋1。先把它想成每次都要加2根，然后擺10個(gè)就要擺10個(gè)2根，原來(lái)一個(gè)要3根，還要再加1根。
師：這種思想是找第一個(gè)三角形和后面9個(gè)三角形的共同點(diǎn)。剛才我們用不同的思路來(lái)研究解決這個(gè)問(wèn)題，得到的結(jié)果都是一樣的。所以，我們要學(xué)會(huì)從不同的角度來(lái)分析問(wèn)題�，F(xiàn)在，假如要搭N個(gè)三角形要多少根小棒？你會(huì)用含有字母的式子表示火柴棒的根數(shù)嗎？
生1：N×2＋1
生2：3N－（N－1）
生3：3＋（N－1）×2
師：這三種方法求出的結(jié)果相等嗎？你愿意用哪一種方法來(lái)算？
【片斷二】
師：聰明的小猴找來(lái)4根木棒，搭成一個(gè)正方形，把它固定在樹(shù)枝上，接著往下搭梯子，第二個(gè)正方形用了幾根木棒？第三個(gè)正方形呢？第四個(gè)呢？（課件演示，學(xué)生觀(guān)察。）像這樣用木棒搭連接的正方形是不是也像剛才擺連接的三角形一樣有規(guī)律呢？一個(gè)正方形用4根，兩個(gè)連接的正方形用幾根？三個(gè)用幾根？……擺10個(gè)這樣連接的正方形需要多少根？
（過(guò)程與上面環(huán)節(jié)類(lèi)似，略）
【片斷三】
師：剛才我們用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)擺小棒，用列表的方法來(lái)整理，探究了連接的三角形和正方形中的規(guī)律。像這樣連接圖形中的規(guī)律有什么聯(lián)系嗎？
生1：三角形和正方形中都是只有一條公共邊。
生2：“1＋2N”中的“1”就是連接三角形中的`一條公共邊，“2”是表示第一個(gè)三角形之后每個(gè)三角形只需要兩條邊。
生3：“1＋3N”中的“1”就是連接正方形中的一條公共邊，“3”是表示第一個(gè)正方形之后每個(gè)正方形只需要三條邊。
師：大家的發(fā)現(xiàn)非常正確。同時(shí)把兩種連接圖形有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)分析研究，找到它們中間的內(nèi)在聯(lián)系，這是一種非常有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。如果需要連接正五邊形、正六邊形，你會(huì)用含有字母的式子表示其中的規(guī)律嗎？
生：正五邊形邊的條數(shù)是1＋4N，正六邊形邊的條數(shù)是1＋5N。
師：也就是1+（正多邊形邊數(shù)-1）×N。
【賞析】
數(shù)學(xué)建模是一種重要的數(shù)學(xué)思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化，建立能近似刻畫(huà)并“解決”實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。該環(huán)節(jié)的教學(xué)，從“探究發(fā)現(xiàn)”到“數(shù)學(xué)建模”，有幾個(gè)明顯的特點(diǎn)：
一、組織有效探索。課始，段老師用學(xué)生習(xí)以為常的火柴棒搭三角形來(lái)做實(shí)驗(yàn)，組織學(xué)生進(jìn)行有效探索搭三角形的個(gè)數(shù)與用火柴棒的根數(shù)之間的聯(lián)系。在此學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師借助于操作，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際動(dòng)手操作搭三角形，到通過(guò)觀(guān)察小猴用木棒搭連接的正方形的過(guò)程，由淺入深，循序漸進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度尋找規(guī)律。通過(guò)學(xué)生的實(shí)物展示和形象直觀(guān)的課件演示，從簡(jiǎn)單的一個(gè)三角形、一個(gè)正方形到10個(gè)、N個(gè)三角形、N個(gè)正方形，讓學(xué)生初步感悟連接圖形中的規(guī)律。
二、重視比較發(fā)現(xiàn)。操作是思維的基礎(chǔ)和源泉，是學(xué)生獲取新知的主要途徑之一。在小組合作學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師注意在操作的同時(shí)，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生比較觀(guān)察。借助表格的填寫(xiě)，交流自己的比較發(fā)現(xiàn)。在引導(dǎo)學(xué)生探究擺10個(gè)三角形需要多少根火柴棒的過(guò)程中，學(xué)生摸索出了多種方法，教師能抓住關(guān)鍵，從一般的解法尋求用含有字母表示的方法，幫助學(xué)生理解真正的含義，在前后兩次找規(guī)律的探究活動(dòng)中，教師不僅進(jìn)行了同一種連接圖形不同解法的比較，還進(jìn)行了三角形與正方形連接圖形的方法的比較，在比較中發(fā)現(xiàn)，在發(fā)現(xiàn)中驗(yàn)證規(guī)律，從而，從特殊規(guī)律的找尋到驗(yàn)證再到發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，教師逐步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。
三、提供方法支撐。新課程強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該是一個(gè)思維活動(dòng)，而不是一個(gè)程序操練的過(guò)程。在上述環(huán)節(jié)中，教師一方面重視學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，自主發(fā)現(xiàn)，同時(shí)，提供了恰當(dāng)?shù)姆椒ㄖ�。從操作活�?dòng)中表格的設(shè)計(jì)，分類(lèi)思想的引導(dǎo)，從簡(jiǎn)單的三角形、正方形到研究復(fù)雜的用字母來(lái)表示圖形的個(gè)數(shù)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的基本方法和價(jià)值，體會(huì)列表整理解決問(wèn)題的策略。在操作中所獲得的形象和表象及時(shí)推動(dòng)著學(xué)生進(jìn)行分析、綜合、比較、抽象、概括，從而引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)不同連接圖形的聯(lián)系與綜合，不斷豐富學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的體驗(yàn)，積累對(duì)基本數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，深刻理解連接圖形的本質(zhì)規(guī)律。
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