歐幾里得

歐幾里得

歐幾里德、

歐幾里得(歐幾里德、)

歐幾里得（希臘文：Ευκλειδη? ，公元前325年—公元前265年），古希臘數(shù)學(xué)家，被稱為“幾何之父”。他活躍于托勒密一世（公元前323年－公元前283年）時期的亞歷山大里亞，他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛的認(rèn)為是歷史上最成功的教科書。歐幾里得也寫了一些關(guān)于透視、圓錐曲線、球面幾何學(xué)及數(shù)論的作品。

學(xué)院教授 歐幾里得(Euclid)是古希臘著名數(shù)學(xué)家、歐氏幾何學(xué)開創(chuàng)者。歐幾里得生于雅典，當(dāng)時雅典就是古希臘文明的中心。濃郁的文化氣氛深深地感染了歐幾里得，當(dāng)他還是個十幾歲的少年時，就迫不及待地想進入“柏拉圖學(xué)園”學(xué)習(xí)。 一天，一群年輕人來到位于雅典城郊外林蔭中的“柏拉圖學(xué)園”。只見學(xué)園的大門緊閉著，門口掛著一塊木牌，上面寫著：“不懂幾何者，不得入內(nèi)! ”這是當(dāng)年柏拉圖親自立下的規(guī)矩，為的是讓學(xué)生們知道他對數(shù)學(xué)的重視，然而卻把前來求教的年輕人給鬧糊涂了。有人在想，正是因為我不懂?dāng)?shù)學(xué)，才要來這兒求教的呀，如果懂了，還來這兒做什么?正在人們面面相覷，不知是退、是進的時候，歐幾里得從人群中走了出來，只見他整了整衣冠，看了看那塊牌子，然后果斷地推開了學(xué)園大門，頭也沒有回地走了進去。 “柏拉圖學(xué)園”是柏拉圖40歲時創(chuàng)辦的一所以講授數(shù)學(xué)為主要內(nèi)容的學(xué)校。在學(xué)園里，師生之間的教學(xué)完全通過對話的形式進行，因此要求學(xué)生具有高度的抽象思維能力。數(shù)學(xué)，尤其是幾何學(xué)，所涉及對象就是普遍而抽象的東西。它們同生活中的實物有關(guān)，但是又不來自于這些具體的事物，因此學(xué)習(xí)幾何被認(rèn)為是尋求真理的最有效的途徑。柏拉圖甚至聲稱：“上帝就是幾何學(xué)家。”這一觀點不僅成為學(xué)園的主導(dǎo)思想，而且也為越來越多的希臘民眾所接受。人們都逐漸地喜歡上了數(shù)學(xué)，歐幾里得也不例外。他在有幸進入學(xué)園之后，便全身心地沉潛在數(shù)學(xué)王國里。他潛心求索，以繼承柏拉圖的學(xué)術(shù)為奮斗目標(biāo)，除此之外，他哪兒也不去，什么也不干，熬夜翻閱和研究了柏拉圖的所有著作和手稿，可以說，連柏拉圖的親傳弟子也沒有誰能像他那樣熟悉柏拉圖的學(xué)術(shù)思想、數(shù)學(xué)理論。經(jīng)過對柏拉圖思想的深入探究，他得出結(jié)論：圖形是神繪制的，所有一切現(xiàn)象的邏輯規(guī)律都體現(xiàn)在圖形之中。因此，對智慧訓(xùn)練，就應(yīng)該從圖形為主要研究對象的幾何學(xué)開始。他確實領(lǐng)悟到了柏拉圖思想的要旨，并開始沿著柏拉圖當(dāng)年走過的道路，把幾何學(xué)的研究作為自己的主要任務(wù)，并最終取得了世人敬仰的成就。

幾何學(xué)貢獻

最早的幾何學(xué)興起于公元前7世紀(jì)的古埃及，后經(jīng)古希臘等人傳到古希臘的都城，又借畢達哥拉斯學(xué)派系統(tǒng)奠基。在歐幾里得以前，人們已經(jīng)積累了許多幾何學(xué)的知識，然而這些知識當(dāng)中，存在一個很大的缺點和不足，就是缺乏系統(tǒng)性。大多數(shù)是片斷、零碎的知識，公理與公理之間、證明與證明之間并沒有什么很強的聯(lián)系性，更不要說對公式和定理進行嚴(yán)格的邏輯論證和說明。因此，隨著社會經(jīng)濟的繁榮和發(fā)展，特別是隨著農(nóng)林畜牧業(yè)的發(fā)展、土地開發(fā)和利用的增多，把這些幾何學(xué)知識加以條理化和系統(tǒng)化，成為一整套可以自圓其說、前后貫通的知識體系，已經(jīng)是刻不容緩，成為科學(xué)進步的大勢所趨。歐幾里得通過早期對柏拉圖數(shù)學(xué)思想，尤其是幾何學(xué)理論系統(tǒng)而周詳?shù)难芯�，已敏銳地察覺到了幾何學(xué)理論的發(fā)展趨勢。他下定決心，要在有生之年完成這一工作。為了完成這一重任，歐幾里得不辭辛苦，長途跋涉，從愛琴海邊的雅典古城，來到尼羅河流域的埃及新埠—亞歷山大城，為的就是在這座新興的，但文化蘊藏豐富的異域城市實現(xiàn)自己的初衷。在此地的無數(shù)個日日夜夜里，他一邊收集以往的數(shù)學(xué)專著和手稿，向有關(guān)學(xué)者請教，一邊試著著書立說，闡明自己對幾何學(xué)的理解，哪怕是尚膚淺的理解。經(jīng)過歐幾里得忘我的勞動，終于在公元前300年結(jié)出豐碩的果實，這就是幾經(jīng)易稿而最終定形的《幾何原本》一書。這是一部傳世之作，幾何學(xué)正是有了它，不僅第一次實現(xiàn)了系統(tǒng)化、條理化，而且又孕育出一個全新的研究領(lǐng)域——歐幾里得幾何學(xué)，簡稱歐氏幾何。

幾何學(xué)著作

《幾何原本》是一部集前人思想和歐幾里得個人創(chuàng)造性于一體的不朽之作。傳到今天的歐幾里得著作并不多，然而我們卻可以從這部書詳細(xì)的寫作筆調(diào)中，看出他真實的思想底蘊。 全書共分13卷。書中包含了5條“公理”、5條“公設(shè)”、23個定義和467個命題。在每一卷內(nèi)容當(dāng)中，歐幾里得都采用了與前人完全不同的敘述方式，即先提出公理、公設(shè)和定義，然后再由簡到繁地證明它們。這使得全書的論述更加緊湊和明快。而在整部書的內(nèi)容安排上，也同樣貫徹了他的這種獨具匠心的安排。它由淺到深，從簡至繁，先后論述了直邊形、圓、比例論、相似形、數(shù)、立體幾何以及窮竭法等內(nèi)容。其中有關(guān)窮竭法的討論，成為近代微積分思想的來源。僅僅從這些卷帙的內(nèi)容安排上，我們就不難發(fā)現(xiàn)，這部書已經(jīng)基本囊括了幾何學(xué)從公元前7世紀(jì)的古埃及，一直到公元前4世紀(jì)——歐幾里得生活時期——前后總共400多年的數(shù)學(xué)發(fā)展歷史。這其中，頗有代表性的便是在第1卷到第4卷中，歐幾里得對直邊形和圓的論述。正是在這幾卷中，他總結(jié)和發(fā)揮了前人的思維成果，巧妙地論證了畢達哥拉斯定理，也稱“勾股定理”。即在一直角三角形中，斜邊上的正方形的面積等于兩條直角邊上的兩個正方形的面積之和。他的這一證明，從此確定了勾股定理的正確性并延續(xù)了2000多年�！稁缀卧�本》是一部在科學(xué)史上千古流芳的巨著。它不僅保存了許多古希臘早期的幾何學(xué)理論，而且通過歐幾里得開創(chuàng)性的系統(tǒng)整理和完整闡述，使這些遠(yuǎn)古的數(shù)學(xué)思想發(fā)揚光大。它開創(chuàng)了古典數(shù)論的研究，在一系列公理、定義、公設(shè)的`基礎(chǔ)上，創(chuàng)立了歐幾里得幾何學(xué)體系，成為用公理化方法建立起來的數(shù)學(xué)演繹體系的最早典范。照歐氏幾何學(xué)的體系，所有的定理都是從一些確定的、不需證明而礴然為真的基本命題即公理演繹出來的。在這種演繹推理中，對定理的每個證明必須或者以公理為前提，或者以先前就已被證明了的定理為前提，最后做出結(jié)論。這一方法后來成了用以建立任何知識體系的嚴(yán)格方式，人們不僅把它應(yīng)用于數(shù)學(xué)中，也把它應(yīng)用于科學(xué)，而且也應(yīng)用于神學(xué)甚至哲學(xué)和倫理學(xué)中，對后世產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。盡管歐幾里得的幾何學(xué)在差不多2000年間，被奉為嚴(yán)格思維的范例，但實際上它并非那么完美。人們發(fā)現(xiàn)，一些被歐幾里得作為不證自明的公理，卻難以自明，越來越遭到懷疑。比如“第五平行公設(shè)”，歐幾里得在《幾何原本》一書中斷言：“通過已知外一已知點，能作且僅能作一條直線與已知直線平行。 ”這個結(jié)果在普通平面當(dāng)中尚能夠得到經(jīng)驗的印證，那么在無處不在的閉合球面之中(地球就是個大曲面)這個平行公理卻是不成立的。俄國人羅伯切夫斯基和德國人黎曼由此創(chuàng)立了非歐幾何學(xué)。 此外，歐幾里得在《幾何原本》中還對完全數(shù)做了探究，他通過 2^(n-1)·(2^n-1) 的表達式發(fā)現(xiàn)頭四個完全數(shù)的。 當(dāng) n= 2: 2^1(2^2 ? 1) = 6 當(dāng) n= 3: 2^2(2^3 ? 1) = 28 當(dāng) n= 5: 2^4(2^5 ? 1) = 496 當(dāng) n= 7: 2^6(2^7 ? 1) = 8128 一個偶數(shù)是完全數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它具有如下形式：2^(n ? 1).(2^n ? 1)，此事實的充分性由歐幾里得證明，而必要性則由歐拉所證明。 其中2^n? 1是素數(shù)，上面的6和28對應(yīng)著n=2和3的情況。我們只要找到了一個形如2^n? 1的素數(shù)（即梅森素數(shù)），也就知道了一個偶完全數(shù)。 盡管沒有發(fā)現(xiàn)奇完全數(shù)，但是當(dāng)代數(shù)學(xué)家奧斯丁·歐爾證明，若有奇完全數(shù)，則其形式必然是12p+ 1或36p+ 9的形式，其中p是素數(shù)。在10^18以下的自然數(shù)中奇完全數(shù)是不存在的。 首五個完全數(shù)是： 6 28 496 8128 33550336(8位)

歐幾里得算法

歐幾里得算法歐幾里德算法又稱輾轉(zhuǎn)相除法，用于計算兩個整數(shù)a,b的最大公約數(shù)。

歐幾里得是希臘亞歷山大的數(shù)學(xué)教師。著名的古希臘學(xué)者阿基米德，是他“學(xué)生的學(xué)生”——卡農(nóng)是阿基米德的老師，而歐幾里得是卡農(nóng)的老師。 歐幾里得不僅是一位學(xué)識淵博的數(shù)學(xué)家，同時還是一位有“溫和仁慈的藹然長者 ”之稱的教育家。在著書育人過程中，他始終沒有忘記當(dāng)年掛在“柏拉圖學(xué)園”門口的那塊警示牌，牢記著柏拉圖學(xué)派自古承襲的嚴(yán)謹(jǐn)、求實的傳統(tǒng)學(xué)風(fēng)。他對待學(xué)生既和藹又嚴(yán)格，自己卻從來不宣揚有什么貢獻。對于那些有志于窮盡數(shù)學(xué)奧秘的學(xué)生，他總是循循善誘地予以啟發(fā)和教育，而對于那些急功近利、在學(xué)習(xí)上不肯刻苦鉆研的人，則毫不客氣地予以批評。 在柏拉圖學(xué)派晚期導(dǎo)師普羅克洛斯（約410～485）的《幾何學(xué)發(fā)展概要》中，就記載著這樣一則故事，說的是數(shù)學(xué)在歐幾里得的推動下，逐漸成為人們生活中的一個時髦話題(這與當(dāng)今社會截然相反)，以至于當(dāng)時亞里山大國王托勒密一世也想趕這一時髦，學(xué)點兒幾何學(xué)。雖然這位國王見多識廣，但歐氏幾何卻令他學(xué)的很吃力。于是，他問歐幾里得“學(xué)習(xí)幾何學(xué)有沒有什么捷徑可走？”，歐幾里得笑到：“抱歉，陛下!學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和學(xué)習(xí)一切科學(xué)一樣，是沒有什么捷徑可走的。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，人人都得獨立思考，就像種莊稼一樣，不耕耘是不會有收獲的。在這一方面，國王和普通老百姓是一樣的�！� 從此,“在幾何學(xué)里,沒有專為國王鋪設(shè)的大道。”這句話成為千古傳誦的學(xué)習(xí)箴言。 又有則故事。那時候，人們建造了高大的金字塔，可是誰也不知道金字塔究竟有多高。有人這么說：“要想測量金字塔的高度，比登天還難！”這話傳到歐幾里得耳朵里。他笑著告訴別人：“這有什么難的呢？當(dāng)你的影子跟你的身體一樣長的時候，你去量一下金字塔的影子有多長，那長度便等于金字塔的高度！” 來拜歐幾里得為師，學(xué)習(xí)幾何的人，越來越多。有的人是來湊熱鬧的，看到別人學(xué)幾何，他也學(xué)幾何。斯托貝烏斯（約500）記述了另一則故事,一位學(xué)生曾這樣問歐幾里得：“老師，學(xué)習(xí)幾何會使我得到什么好處？”歐幾里得思索了一下，請仆人拿點錢給這位學(xué)生。歐幾里得說：給他三個錢幣，因為他想在學(xué)習(xí)中獲取實利。 一天一群年輕人來到位于雅典城郊外的林蔭中的“柏拉圖學(xué)院”。只見大門緊閉著，門口掛著一塊木塊，上面寫著：“不懂?dāng)?shù)學(xué)者，不得入內(nèi)！”這是柏拉圖親自立下的規(guī)矩，為的是讓學(xué)生們知道他重視數(shù)學(xué)，然而卻把前來求教的年輕人們給鬧糊涂了。有人在想正是因為我不懂?dāng)?shù)學(xué)才前來求教的啊，如果懂了，還來這兒干什么？正當(dāng)人們面面相覷，不只是退還是進的時候，歐幾里得從人群中走了出來，只見他整了整衣冠，看了看那塊牌子，然后果斷的推開了學(xué)院大門，頭也沒回就走了進去。

歐幾里得將公元前7世紀(jì)以來希臘幾何積累起來的豐富成果整理在嚴(yán)密的邏輯系統(tǒng)之中，使幾何學(xué)成為一門獨立的、演繹的科學(xué)。除了《幾何原本》之外，他還有不少著作，可惜大都失傳�！兑阎獢�(shù)》是除《原本》之外惟一保存下來的他的希臘文純粹幾何著作，體例和《原本》前6卷相近，包括94個命題,指出若圖形中某些元素已知,則另外一些元素也可以確定�！秷D形的分割》現(xiàn)存拉丁文本與阿拉伯文本，論述用直線將已知圖形分為相等的部分或成比例的部分�！豆鈱W(xué)》是早期幾何光學(xué)著作之一，研究透視問題，敘述光的入射角等于反射角，認(rèn)為視覺是眼睛發(fā)出光線到達物體的結(jié)果。還有一些著作未能確定是否屬于歐幾里得，而且已經(jīng)散失。 除了《幾何原本》之外，歐幾里得還有另外五本著作流傳至今。它們與《幾何原本》一樣，內(nèi)容都包含定義及證明。 《已知數(shù)》（Data）指出若幾何難題圖形中的已知元素，內(nèi)容與《幾何原本》的前四卷有密切關(guān)系。 《圓形的分割》（On divisions of figures）現(xiàn)存拉丁文本，論述用直線將已知圖形分為相等的部分或成比例的部分，內(nèi)容與希羅（Heron of Alexandria）的作品相似。 《反射光學(xué)》（Catoptrics）論述反射光在數(shù)學(xué)上的理論，尤其論述形在平面及凹鏡上的圖像。可是有人置疑這本書是否真正出自歐幾里得之手，它的作者可能是提奧（Theon of Alexandria）。 《現(xiàn)象》（Phenomena）是一本關(guān)于球面天文學(xué)的論文，現(xiàn)存希臘文本。這本書與奧托呂科斯（Autolycus of Pitane）所寫的 On the Moving Sphere相似。 《光學(xué)》（Optics）早期幾何光學(xué)著作之一，現(xiàn)存希臘文本。這本書主要研究透視問題，敘述光的入射角等于反射角等。

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