向量法證明正弦定理

向量法證明正弦定理

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

作直徑BD交⊙O于D. 連接DA.

因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

2

如圖1，△ABC為銳角三角形，過點A作單位向量j垂直于向量AC，則j與向量AB的夾角為90°-A，j與向量CB的夾角為90°-C

由圖1，AC+CB=AB(向量符號打不出)

在向量等式兩邊同乘向量j,得·

j·AC+CB=j·AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，過點C作與向量CB垂直的單位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

2步驟1

記向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.

在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步驟3.

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的'外接圓O.

作直徑BD交⊙O于D. 連接DA.

因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式。

3

用向量叉乘表示面積則 s = CB 叉乘 CA = AC 叉乘 AB

=> absinC = bcsinA (這部可以直接出來哈哈，不過為了符合向量的做法)

=> a/sinA = c/sinC

2011-7-18 17:16 jinren92 | 三級

記向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,接著得到正弦定理 其他步驟2. 在銳角△ABC中，證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 任意三角形ABC,

4

過三角形ABC 的頂點A作BC邊上的高，垂足為D.(1)當D落在邊BC上時，向量AB 與向量AD 的夾角為90°-B ，向量AC 與向量AD 的夾角為90°-C ，由于向量AB、向量AC 在向量AD 方向上的射影相等，有數(shù)量積的幾何意義可知 向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即 向量AB的絕對值*向量AD的絕對值*COS(90°-B)=向量的AC絕對值*向量AD的絕對值*cos(90°-C)所以 csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)當D落在BC的延長線上時，同樣可以證得

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