極限定義證明

時間：2022-11-20 14:35:38 證明范文我要投稿

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極限定義證明

　　證明，釋義是指根據(jù)確實的材料判明人或事物的真實性。以下是小編收集整理的極限定義證明，僅供參考，大家一起來看看吧。

極限定義證明

　　趨近于正無窮，根號x分之sinx等于0

　　x趨近于負1/2，2x加1分之1減4x的平方等于2

　　這兩個用函數(shù)極限定義怎么證明?

　　x趨近于正無窮，根號x分之sinx等于0

　　證明：對于任意給定的ξ>0，要使不等式

　　|sinx/√x-0|=|sinx/√x|<ξ成立，只需要

　　|sinx/√x|^2<ξ^2，即sinx^2/x<ξ^2(∵x→+∞)，則x>sinx^2/ξ^2，

　　∵|sinx| ≤1∴只需不等式x>1/ξ^2成立，

　　所以取X=1/ξ^2，當x>X時，必有|sinx/√x-0|<ξ成立，

　　同函數(shù)極限的定義可得x→+∞時，sinx/√x極限為0.

　　x趨近于負1/2，2x加1分之1減4x的平方等于2

　　證明：對于任意給定的ξ>0，要使不等式

　　|1-4x^2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|<ξ成立，只

　　需要0<|x+1/2|<ξ/2成立.所以取δ=ξ/2，則當0<|x+1/2|<δ時，必有

　　|1-4x^2/2x+1-2|=|2x+1|<ξ，

　　由函數(shù)極限的定義可得x→-1/2時，1-4x^2/2x+1的極限為2.

　　注意，用定義證明X走近于某一常數(shù)時的極限時，關鍵是找出那個絕對值里面X減去的那個X0.

　　記g(x)=lim[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)，n趨于正無窮;

　　下面證明limg(x)=max{a1，...am}，x趨于正無窮。把max{a1，...am}記作a。

　　不妨設f1(x)趨于a;作b>a>=0，M>1;

　　那么存在N1，當x>N1，有a/M<=f1(x)

　　注意到f2的極限小于等于a，那么存在N2，當x>N2時，0<=f2(x)

　　同理，存在Ni，當x>Ni時，0<=fi(x)

　　取N=max{N1，N2...Nm};

　　那么當x>N，有

　　(a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n

　　所以a/M<=[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)

　　對n取極限，所以a/M<=g(x)N時成立;

　　令x趨于正無窮，

　　a/M<=下極限g(x)<=上極限g(x)<=b;

　　注意這個式子對任意M>1，b>a都成立，中間兩個極限都是固定的數(shù)。

　　令M趨于正無窮，b趨于a;

　　有a<=下極限g(x)<=上極限g(x)<=a;

　　這表明limg(x)=a;

　　證畢;

　　證明有點古怪是為了把a=0的情況也包含進去。

　　還有個看起來簡單些的方法

　　記g(x)=lim[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)，n趨于正無窮;

　　g(x)=max{f1(x)，....fm(x)};

　　然后求極限就能得到limg(x)=max{a1，...am}。

　　其實這個看起來顯然，但對于求極限能放到括號里面，但真要用極限定義嚴格說明卻和上面的證明差不多。

　　有種簡單點的方法，就是

　　max{a，b}=|a+b|/2+|a-b|/2 從而為簡單代數(shù)式。

　　多個求max相當于先對f1，f2求max，再對結(jié)果和f3求，然后繼續(xù)，從而為有限次代數(shù)運算式，

　　故極限可以放進去。

　　一)時函數(shù)的極限：

　　以時和為例引入。

　　介紹符號: 的意義，的直觀意義。

　　定義 ( 和 . )

　　幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù)。然后用這些鄰域語言介紹幾何意義。

　　例1驗證例2驗證例3驗證證 ……

　　(二)時函數(shù)的極限：

　　由考慮時的極限引入。

　　定義函數(shù)極限的“ ”定義。

　　幾何意義.

　　用定義驗證函數(shù)極限的基本思路。

　　例4 驗證例5 驗證例6驗證證由 =

　　為使需有為使需有于是，倘限制，就有

　　例7驗證例8驗證 ( 類似有 (三)單側(cè)極限:

　　1.定義：單側(cè)極限的定義及記法。

　　幾何意義: 介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義。

　　例9驗證證考慮使的 2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關系:

　　Th類似有: 例10證明: 極限不存在。

　　例11設函數(shù) 在點的某鄰域內(nèi)單調(diào)。若存在，則有

　　= §2 函數(shù)極限的性質(zhì)(3學時)

　　教學目的：使學生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。

　　教學要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號性、不等式性質(zhì)以及有理運算性等。

　　教學重點：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計算。

　　教學難點：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應用。

　　教學方法：講練結(jié)合。

　　一、組織教學：

　　我們引進了六種極限: ，以下以極限為例討論性質(zhì)。均給出證明或簡證。

　　二、講授新課：

　　(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出。

　　1.唯一性:

　　2.局部有界性:

　　3.局部保號性:

　　4.單調(diào)性( 不等式性質(zhì) ):

　　Th 4若和都存在，且存在點的空心鄰域，使，都有證設 = ( 現(xiàn)證對有 )

　　註:若在Th 4的條件中，改“ ”為“ ”，未必就有以舉例說明。

　　5.迫斂性:

　　6.四則運算性質(zhì):( 只證“+”和“ ”)

　　(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過以下幾個極限：

　　(注意前四個極限中極限就是函數(shù)值 )

　　這些極限可作為公式用。在計算一些簡單極限時，有五組基本極限作為公式用，我們將陸續(xù)證明這些公式。

　　利用極限性質(zhì)，特別是運算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關性質(zhì)，把所求極限化為基本極限，代入基本極限的值，即計算得所求極限。

　　例1( 利用極限和 )

　　例2例3註:關于的有理分式當時的極限。

　　例4 [ 利用公式 ]

　　例5例6例7

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