數(shù)學(xué)奧賽-1(托勒密定理)

時(shí)間：2023-05-01 11:30:01 資料我要投稿

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托勒密定理

數(shù)學(xué)奧賽-1(托勒密定理)

定理的提出

一般幾何教科書(shū)中的“托勒密定理”，實(shí)出自依巴

谷(Hipparchus)之手，托勒密只是從他的書(shū)中摘出。

定理的內(nèi)容

托勒密(Ptolemy)定理指出，圓內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積。

原文：圓內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和。

從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)．

證明

一、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。）

在任意四邊形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD 因?yàn)椤鰽BE∽△ACD

所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)

又有比例式AB/AC=AE/AD

而∠BAC=∠DAE

所以△ABC∽△AED相似.

BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)

(1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC

又因?yàn)锽E+ED≥BD

（僅在四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形時(shí)，等號(hào)成立，即“托勒密定理”）所以命題得證

復(fù)數(shù)證明

用a、b、c、d分別表示四邊形頂點(diǎn)A、B、C、D的復(fù)數(shù)，則AB、CD、AD、B

C、AC、BD的長(zhǎng)度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到復(fù)數(shù)恒等式： (a ? b)(c ? d) + (a ? d)(b ? c) = (a ? c)(b ? d) ，兩邊取模，運(yùn)用三角不等式得。等號(hào)成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、

B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。四點(diǎn)不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

二、

設(shè)ABCD是圓內(nèi)接四邊形。在弦BC上，圓周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。在AC上取一點(diǎn)K，使得∠ABK = ∠CBD；因?yàn)椤螦BK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。因此△ABK與△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD；因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA；兩式相加，得(AK+CK)·BD = AB·C

D + BC·DA；但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。證畢。三、

托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積(兩對(duì)角線所包矩形的面積)等于兩組對(duì)邊乘積之和(一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和)．已知：圓內(nèi)接四邊形ABCD，求證：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC．

證明：如圖1，過(guò)C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得.....又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得.....①＋②得 AC(BP＋DP)=AB·CD＋AD·BC．即AC·BD=AB·CD＋AD·BC．

推論

1.任意凸四邊形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·B

C，當(dāng)且僅當(dāng)ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。

2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個(gè)凸四邊形兩對(duì)

對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，則這個(gè)凸四邊形內(nèi)

接于一圓、

推廣

托勒密不等式：四邊形的任兩組對(duì)邊乘積不小于另外

一組對(duì)邊的乘積，取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)共圓或共線。