梅涅勞斯定理
梅涅勞斯定理
定理敘述
設(shè)X、Y、Z分別在△ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1
注意：
最簡(jiǎn)單的證明（張景中院士說過“做足夠多的三角形可以解任何幾何題”。等價(jià)說法是“做足夠多的垂線可以解任何幾何題”）
證明： 過ABC三點(diǎn)向三邊引垂線AA'BB'CC'，
AD：DB=AA'：BB'
BE：EC=BB'：CC'
CF：FA=CC'：AA'
所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1
一 應(yīng)用梅涅勞斯定理
1.定理的條件已經(jīng)具備，正向或反向應(yīng)用定理。
例：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。 分析：目標(biāo)明確，寫出比例式就行了。
例:不等邊三角形的三條外角平分線與對(duì)邊延長(zhǎng)線的交點(diǎn)共線。
例：
分析：直線若平行于BC，則命題顯然成立。若不平行，則作出直線與直線BC的交點(diǎn)是非常自然的。
例：
如圖在三角形三邊取相同比例的分點(diǎn)。中間黑色三角形面積等于白色面積，求邊上的分點(diǎn)比例。
分析：沒啥好分析的。
總結(jié)：用定理要選取三角形和截線。目標(biāo)中共線的三個(gè)點(diǎn)所在的'直線上，一般不會(huì)包含所選取的三角形的邊。
2.幾個(gè)不適合用梅氏定理的例子。
例：
如圖銳角x的兩條邊上取A,B兩點(diǎn)。甲乙二人分別從A,B出發(fā)沿箭頭方向前進(jìn)。保持速度不變。證明兩人以及銳角頂點(diǎn)組成的三角形垂心在某直線上運(yùn)動(dòng)。 分析：本題具備定理的基本圖形，并且目標(biāo)是證明共線。但此處不可使用梅氏定理。因?yàn)榇剐乃诘亩ㄖ本�一般是不過銳角頂點(diǎn)的。那么我們?nèi)讉�(gè)時(shí)刻的垂心呢？?jī)蓚�(gè)就夠了。只要證明這兩個(gè)垂心連線的斜率只與兩人的速度比有關(guān)……
總結(jié)：用數(shù)學(xué)定理要看定理中的條件部分，估計(jì)計(jì)算復(fù)雜程度。比如逆定理?xiàng)l件是共線，不共線則不可使用逆定理。
例：
兩個(gè)線段上的點(diǎn)列如圖連線得到交點(diǎn)。證明三個(gè)交點(diǎn)共線。用梅氏定理的證明見初三仁華課本。這里繞個(gè)路證明此題。首先，下面這個(gè)事實(shí)有用。
x,y,z,w等8個(gè)數(shù)看作所在點(diǎn)橫坐標(biāo)。（用了定比分點(diǎn)）
此時(shí)中間兩個(gè)線段分點(diǎn)比例可由a,b,c,d,p,q,m,n給出。請(qǐng)自行練習(xí)
x,y,z,w等8個(gè)數(shù)看作所在點(diǎn)縱坐標(biāo)，此時(shí)中間兩個(gè)線段分點(diǎn)比例仍可由a,b,c,d,p,q,m,n給出，且與上面結(jié)果相同。這表明圖中里邊的線段分點(diǎn)比例只與外圍分點(diǎn)比例有關(guān)，與外圍線段長(zhǎng)度，夾角無關(guān)。
等價(jià)的，引理：如圖三點(diǎn)共線。則保持圖中線段分點(diǎn)比例不變，旋轉(zhuǎn)，平移，均勻伸縮粉色線段，會(huì)使三個(gè)黑點(diǎn)仍然http://m.clearvueentertainment.com/news/55A54887FD48C7B6.html共線。
看原題中的圖，兩條直線交于O,根據(jù)梅氏定理，G,H,I分所在線段比例由OA:AB:BC
OD:DE:EF確定。只要保持這兩個(gè)連比不變，G,H,I分所在線段比例不變。根據(jù)引理，G,H,I分所在線段比例不變情況下證明了三點(diǎn)共線，則間接證明了原題。所以，令角AOD為直角，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。下略。
總結(jié)：不應(yīng)刻意追求代數(shù)流或純幾何，自然為上。
3 比較該定理和賽瓦定理
聯(lián)系：基本圖形接近。我們?cè)噲D用下圖統(tǒng)一兩個(gè)定理。
三角形ADO，截線BC,有梅氏定理。
三角形ADC, 截線OB，有梅氏定理。
三角形ABC, 點(diǎn)O,有塞瓦定理等等 這個(gè)圖的補(bǔ)注：
代數(shù)方法解幾何題綜合考慮兩點(diǎn)：1 用盡量少的未知數(shù)標(biāo)識(shí)圖形。2為了保持對(duì)稱性和形式的簡(jiǎn)潔，可以適當(dāng)增加未知數(shù)。這個(gè)圖形可以用五個(gè)未知數(shù)表示。三角形三邊，以及am,ak。
我們用了9個(gè)，現(xiàn)在找一下多出來的4個(gè)。首先。x,y,z可以用其它6個(gè)字母表示，這樣找到多出來的3個(gè)。外圍我們用a/b b/c c/a表示乘積為1的三個(gè)正數(shù)，其實(shí)可以只用兩個(gè)字母。a，b ，1/ab 。為了簡(jiǎn)潔和對(duì)稱，多用了一個(gè)。
區(qū)別 ：描述的數(shù)學(xué)事實(shí)不同。三點(diǎn)共線和三線共點(diǎn)。
二 廣義的梅涅勞斯定理
D,E,F三點(diǎn)共線，三角形DEF面積為零。下面這個(gè)定理說的是三角形DEF面積不為零的情況。（李建泉）
建議從兩個(gè)層次理解定理
1 定性。三角形三邊上取分點(diǎn)，則分點(diǎn)確定的三角形面積與原三角形面積比由三個(gè)分點(diǎn)比值唯一確定。
2 定量。也就是定理中的結(jié)論部分。
2010-9-29
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