第一冊分式
3.5三角形全等的判定(一)(1)
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教學(xué)目標(biāo)
1. 通過實際操作理解“學(xué)習(xí)三角形全等的四種判定方法”的必要性.
2. 比較熟練地掌握應(yīng)用邊角邊公理時尋找非已知條件的方法和證明的分析法,初步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.
3. 初步掌握“利用三角形全等來證明線段相等或角相等或直線的平行、垂直關(guān)系等”的方法.
4. 掌握證明三角形全等問題的規(guī)范書寫格式.
教學(xué)重點和難點
應(yīng)用三角形的邊角邊公理證明問題的分析方法和書寫格式.
教學(xué)過程 設(shè)計
一、 實例演示，發(fā)現(xiàn)公理
1． 教師出示幾對三角形模板，讓學(xué)生觀察有幾對全等三角形，并根據(jù)所學(xué)過的全等三角形的知識動手操作，加以驗證，同時寫出全等三角形的數(shù)學(xué)表達(dá)式.
2． 在此過程中應(yīng)啟發(fā)學(xué)生注意以下幾點：
（1） 可用移動三角形使其重合的方法驗證圖3-49中的三對三角形分別全等，并根據(jù)圖中已知的三對對應(yīng)元素分別相等的條件，可以證明結(jié)論成立.如圖3-49(c)中，由AB=AC=3cm,可將△ABC繞A點轉(zhuǎn)到B與C重合；由于∠BAD=∠CAE=120°，保證AD能與AE重合；由AD=AE=5cm,可得到D與E重合.因此△BAD可與△CAE重合,說明△BAD≌△CAE.
（2） 每次判斷全等，若都根據(jù)定義檢查是否重合是不便操作的，需要尋找更實用的判斷方法——用全等三角形的性質(zhì)來判定.
（3） 由以上過程可以說明，判定兩個三角形全等，不必判斷三條邊、三個角共六對對應(yīng)元素均相等，而是可以簡化到特定的三個條件，引導(dǎo)學(xué)生歸納出：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等.
3.畫圖加以鞏固.
教師照課本上所敘述的過程帶領(lǐng)學(xué)生分析畫圖步驟并畫出圖形,理解“已知兩邊及夾角畫三角形”的方法，并加深對結(jié)論的印象.
二、 提出公理
1.板書邊角邊公理，指出它可簡記為“邊角邊”或“SAS”，說明記號“SAS’的含義．
2．強調(diào)以下兩點：
（1）使用條件：三角形的兩邊及夾角分別對應(yīng)相等．
（2）使用時記號“SAS”和條件都按邊、夾角、邊的順序排列，并將對應(yīng)頂點的字母順序?qū)懺趯?yīng)位置上．
3．板書定理證明應(yīng)使用標(biāo)準(zhǔn)圖形、文字及數(shù)學(xué)表達(dá)式，正確書寫證明過程．
如圖3-50，在△ABC與△A’B’C’中,（指明范圍）
三、應(yīng)用舉例、變式練習(xí)
1．充分發(fā)揮一道例題的作用，將條件、結(jié)論加以變化，進(jìn)行變式練習(xí)，
例1已知：如圖 3-51， AB＝CB，∠ABD＝∠CBD．求證：△ABD≌△CBD．
分析：將已知條件與邊角邊公理對比可以發(fā)現(xiàn)，只需再有一組對應(yīng)邊相等即可，這可由公共邊相等 BD＝BD得到．
說明：（1）證明全等缺條件時，從圖形本身挖掘隱含條件，如公共邊相等、公共角相等、對頂角相等，等等．
（2）學(xué)習(xí)從結(jié)論出發(fā)分析證明思路的方法（分析法）．
分析：△ABD≌△CBD
因此只能在兩個等角分別所在的三角形中尋找與AB，CB夾兩已知角的公共邊BD．
（3）可將此題做條種變式練習(xí)：
練習(xí)1（改變結(jié)論）如圖 3-51，已知 AB＝CB，∠ABD＝∠CBD.求證：AD=CD，BD平分∠ADC.
分析：在證畢全等的基礎(chǔ)上，可繼續(xù)利用全等三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等，即AD=CD；對應(yīng)角相等∠ADB=∠CDB，即BD平分∠ADC.因此，通過證明兩三角形全等可證明兩個三角形中的線段相等或和角相關(guān)的結(jié)論，如兩直線平行、垂直、角平分線等等.
練習(xí)2(改變條件）如圖 3－51，已知 BD平分∠ABC， AB＝ CB．求證: ∠A＝∠C．
分析：能直接使用的證明三角形全等的條件只有AB＝CB，所缺的其余條件分別由公共邊相等、角平分線的定義得出．這樣，在證明三角形全等之前需做一些準(zhǔn)備工作．教師板書完整證明過程如下：
以上四步是證明兩三角形全等的基本證明格式．
（4）將題目中的圖形加以有規(guī)律地圖形變換，可得到相關(guān)的一組變式練習(xí)，使剛才的解題思路得以充分地實施，并加強例題、習(xí)題之間的有機聯(lián)系，熟悉常見圖形，同時讓學(xué)生總結(jié)常用的尋找所缺邊、缺角條件的方法．
練習(xí) 3如圖 3-52（c），已知 AB＝AE， AD＝AF，∠ 1=∠2．求證： DB=FE．
分析：關(guān)鍵由∠1＝∠2，利用等量公理證出∠BAD＝∠EAF.
練習(xí) 4如圖 3-52(d)，已知 A為 BC中點， AE//BD， AE＝BD．求證： AD//CE．
分析：由中點定義得出 AB＝AC；由 AE//BD及平行線性質(zhì)得出∠ABD=∠CAE．
練習(xí) 5已知：如圖 3-52(e）， AE//BD， AE＝DB．求證： AB//DE．
分析：由 AE//BD及平行線性質(zhì)得出∠ADB=∠DAE；由公共邊 AD＝DA及已知證明全等．
練習(xí)6已知：如圖3－52（f），AE//BD，AE＝DB．求證：AB//DE，AB＝DE．
分析：通過添加輔助線——連結(jié)AD，構(gòu)造兩個三角形去證明全等．
練習(xí) 7已知：如圖 3-52（g）， BA＝EF， DF=CA，∠EFD=∠CAB．求證：∠B=∠E．
分析：由DF＝CA及等量公理得出DA＝CF；由∠EFD＝∠CAB及“等角的補角相等”得出∠BAD＝∠EFC．
練習(xí)8已知：如圖3－52（h），BE和CD交于A，且A為BE中點，EC⊥CD于C,BD⊥CD于 D， CE＝⊥BD．求證： AC＝AD．
分析：由于目前只有邊角邊公理，因此，必須將角的隱含條件——對頂角相等轉(zhuǎn)化為已知兩邊的夾角∠B=∠E，這點利用“等角的余角相等”可以實現(xiàn)．
練習(xí) 9已知如圖 3－52（i），點 C， F， A， D在同一直線上， AC＝FD， CE=DB， EC⊥CD，BD⊥CD，垂足分別為 C和D．求證：EF//AB．
在下一課時中，可在圖中連結(jié)EA及BF，進(jìn)一步統(tǒng)習(xí)證明兩次全等．
小結(jié)：在以上例1及它的九種變式練習(xí)中，可讓學(xué)生歸納概括出目前常用的證明三角形全等時尋找非已知條件的途徑．
缺邊時：①圖中隱含公共邊；②中點概念；③等量公理④其它．
缺角時：①圖中隱含公共角；②圖中隱含對頂角；③三角形內(nèi)角和及推論④角平分線定義；
⑤平行線的性質(zhì)；⑥同（等）角的補（余）角相等；⑦等量公理；⑧其它．
例2已知：如圖3－53，△ABE和△ACD均為等邊三角形.求證：BD=EC．
分析：先選擇BD和EC所在的兩個三角形△ABD與△AEC，已知沒有提供任一證兩個三角形全等所需的直接條件，均需由等邊三角形的定義提供．
四、師生共同歸納小結(jié)
1．證明兩三角形全等的條件可由定義的六條件減弱到至少幾個？邊角邊公理是哪三個
條件？
2．在遇到證明兩三角形全等或用全等證明線段、角的大小關(guān)系時，最典型的分析問題的思路是怎樣的？你體會這樣做有些什么優(yōu)點？
3.遇到證明兩個三角形全等而邊、角的直接條件不夠時，可從哪些角度入手尋找非已知條件？
五、練習(xí)與作業(yè)
練習(xí)：課本第28頁中第1題，第30頁中1，3題.
作業(yè) ：課本第32頁中第6，7，8，9，10題.
課堂教學(xué)設(shè)計說明
本教學(xué)設(shè)計需2課時完成.
1．課本第3.5節(jié)內(nèi)容安排3課時，前兩課時學(xué)習(xí)三角形全等的邊角邊公理，重點練習(xí)直接應(yīng)用公理及證明格式，初步學(xué)習(xí)尋找證明全等所需的非已知條件的方法，以及利用性質(zhì)證明邊角的數(shù)量關(guān)系及直線的位置關(guān)系，第3課時加以鞏固并學(xué)習(xí)解決應(yīng)用題和兩次全等的問題.
2．本節(jié)將“理解全等三角形的判定方法的必要性“列為教學(xué)目標(biāo) 之一，目的是引起教師和學(xué)生的重視，只有學(xué)生真正認(rèn)識到了研究判定方法的必要性，才能從思想上接受判定方法，并發(fā)揮出他們的學(xué)習(xí)主動性.
3．本節(jié)課將“分析法和尋找證明全等三角形時非已知條件的方法”作為教學(xué)目標(biāo) 之一，意在給學(xué)生歸納一些常用的解題思路，以便將它作為證明全等三角形的一種技能加以強化.
4．教材中將“利用證明兩個三角形全等來證明線段或角相等”的方法做為例5出現(xiàn)，為時過晚，達(dá)不到訓(xùn)練的目的，因此教師應(yīng)提前到第一、二課時，就教給學(xué)生分析的方法，并從各種角度加以訓(xùn)練.
5．教師可將例題1和幾種變式練習(xí)制成投作影片（圖3-52）提高課堂教學(xué)效率．教學(xué)使用時，重點放在題目的分析上，并體現(xiàn)出題目之間圖形的變化和內(nèi)在聯(lián)系.
6．本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的兩課時既教會學(xué)生分析全等問題的思路——分析法和尋找非已知條件的方法，又要求他們落實證明的規(guī)范步驟——準(zhǔn)備條件，指明范圍，列齊條件和得出結(jié)論，使學(xué)生遇到證明三角形全等的題目既會快速分析，又會正確表達(dá)．學(xué)生學(xué)生遇到證明三角形全等的題目既會快速分析，又會正確表達(dá)。節(jié)教學(xué)
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