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2012年考研考試數(shù)學(xué)大綱之函數(shù)的連續(xù)性
2012考研考試數(shù)學(xué)大綱之函數(shù)的連續(xù)性解析(一)考試內(nèi)容
函數(shù)的概念及表示法，函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)，基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，初等函數(shù)，函數(shù)關(guān)系的建立。
數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)，函數(shù)的左極限和右極限，無窮小量和無窮大量的概念及其關(guān)系，無窮小量的性質(zhì)及其無窮小量的比較，極限的四則運(yùn)算，極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限。
函數(shù)連續(xù)的概念，函數(shù)間斷點(diǎn)的類型，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。
(二)考試要求
1.理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會建立應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系。
2.了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性。
3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。
4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念。
5.了解數(shù)列極限和函數(shù)極限(包括左極限和右極限)的概念。
6.了解極限的性質(zhì)與極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，掌握極限的四則運(yùn)算法則，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。
7.理解無窮小量的概念和基本性質(zhì)，掌握無窮小量的比較方法，了解無窮大量和無窮小量的關(guān)系。
8.理解函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)和右連續(xù))，會判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。
9.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會應(yīng)用這些性質(zhì)。
我們在求解函數(shù)的解析式時(shí)，需要涉及到導(dǎo)數(shù)、積分、級數(shù)、微分方程等基本知識，所以求解函數(shù)解析式往往是一些知識的綜合應(yīng)用，需要逐步求解。函數(shù)的性質(zhì)是考試的重點(diǎn)，比如奇偶性、周期性，在極限這一章體現(xiàn)的不明顯，但是在定積分和二重積分的運(yùn)算中如果能夠準(zhǔn)確的應(yīng)用就能夠化簡運(yùn)算，解決難題，所以屬于技巧性的考察，在考研的試題中對技巧的考察屬于重難點(diǎn)，所以考生應(yīng)該提起重視。函數(shù)的有界性是證明題中經(jīng)常用到的，但要注意閉區(qū)間上應(yīng)用，如果是開區(qū)間，就要求解左端點(diǎn)處的右極限、右端點(diǎn)處的左極限。極限是考研的重點(diǎn)，熟練掌握求解極限的方法是得高分的關(guān)鍵，極限的運(yùn)算法則必須遵從，兩個(gè)極限都存在才可以進(jìn)行極限的運(yùn)算，如果有一個(gè)不存在就無法進(jìn)行運(yùn)算。無窮小以及無窮大量是考察的重點(diǎn)，首先要理解概念，弄清無窮大與無界的區(qū)別，無窮小與有界的區(qū)別，(前者能推出后者，后者不能推出前者。)對于無窮小的運(yùn)算，大家最好能夠熟練掌握等價(jià)無窮小代換，這樣可以化簡極限運(yùn)算，但在運(yùn)算中要注意等價(jià)無窮小代換的條件，一般是積式用。在這需要大家注意一下階的概念。極限的保號性應(yīng)用比較廣泛，要領(lǐng)會如何“保號”得到不等式。在證明中還會用到最值定理，介值定理，零點(diǎn)定理。我們應(yīng)用最值定理估值計(jì)算，應(yīng)用介值定理證明存在零點(diǎn)。函數(shù)的連續(xù)性是考試的重點(diǎn)，可能考察函數(shù)、分段函數(shù)、絕對值函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性，應(yīng)用左右極限進(jìn)行求解，在求解過程中經(jīng)常會遇到一些特殊的函數(shù)比如指數(shù)函數(shù)，反三角函數(shù)，當(dāng)變量趨近于不同的值時(shí)，極限可能不同。
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