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用猜想驗(yàn)證的方法化循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù) 論文
把循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法，可以用移動(dòng)循環(huán)節(jié)的過程來(lái)推導(dǎo)，也可以用無(wú)限遞縮等比數(shù)列的求和公式計(jì) 算得到。下面我們運(yùn)用猜想驗(yàn)證的方法來(lái)推導(dǎo)。
（一）化純循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)
大家都知道：一個(gè)有限小數(shù)可以化成分母是10、100、1000 ……的分?jǐn)?shù)。那么，一個(gè)純循環(huán)小數(shù)可以化成 分母是怎樣的分?jǐn)?shù)呢？我們先從簡(jiǎn)單的循環(huán)節(jié)是一位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)開始。如：＠①、＠②……化成分?jǐn)?shù)時(shí) ，它們的分母可以寫成幾呢？
想一想：可能是10嗎？不可能。因?yàn)?/10＝0.1〈＠①，3/10＝0.3〉＠②；可能是8嗎？不可能。 因?yàn)?/ 8＝0.125〉＠①，3/8＝0.375〉＠②；那么，可能是幾呢？因?yàn)?/10〈＠①〈1/8，3/10〈＠②〈3/8，所以分 母可能是9。 下面我們來(lái)驗(yàn)證一下自己的猜想：1/9＝1÷9＝0.111……＝＠①；3/9＝1/3＝1÷3＝0.333……＝ ＠②。
計(jì)算結(jié)果說(shuō)明我們的猜想是對(duì)的。那么，所有循環(huán)節(jié)是一位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)都可以寫成分母是9的分?jǐn)?shù)嗎 ？讓我們根據(jù)自己的猜想， 把＠③、＠④化成分?jǐn)?shù)后再驗(yàn)證一下。
＠③＝4/9 驗(yàn)證：4/9＝4÷9＝0.444……
＠④＝6/9＝2/3 驗(yàn)證：2/3＝2÷3＝0.666……
經(jīng)過上面的猜想和驗(yàn)證，我們可以得出這樣的結(jié)論：循環(huán)節(jié)是一位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)時(shí)，用一個(gè) 循環(huán)節(jié)組成的數(shù)作分子，用9 作分母；然后，能約分的再約分。
循環(huán)節(jié)是兩位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)怎樣化成分?jǐn)?shù)呢？如：＠⑤、＠⑥……化成分?jǐn)?shù)時(shí)，它們的分母又可以寫 成多少呢？
想一想：可能是100嗎？不可能。因?yàn)?2/100＝0.12〈＠⑤，13/100＝0.13〈＠⑥�？赡苁�98嗎？不可能。 因?yàn)?2/98≈0.1224〉＠⑤，13/98≈0.1327〉＠⑥；可能是多少呢？因?yàn)?2/100〈＠⑤〈12/98，13/100〈＠⑥ 〈13/98，所以分母可能是99。是否正確，還需驗(yàn)證一下。
12/99＝12÷99＝0.121212……＝＠⑤；
13/99＝13÷99＝0.131313……＝＠⑥。
驗(yàn)證結(jié)果說(shuō)明我們的猜想是正確的。那么，所有循環(huán)節(jié)是兩位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)都可以寫成分母是99的分 數(shù)嗎？讓我們?cè)龠\(yùn)用猜想的方法，把＠⑦、＠⑧化成分?jǐn)?shù)后，驗(yàn)算一下。
＠⑦＝15/99＝5/33，驗(yàn)算：5/33＝5÷33＝0.151515……
＠⑧＝18/99＝2/11，驗(yàn)算：2/11＝2÷11＝0.181818……
經(jīng)過這次猜想和驗(yàn)證，我們可以得出這樣的結(jié)論：循環(huán)節(jié)是兩位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)時(shí)，用一個(gè)循 環(huán)節(jié)組成的數(shù)作分子，用99作分母；然后，能約分的再約分。
現(xiàn)在，你能推斷出循環(huán)節(jié)是三位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法嗎？
因?yàn)檠h(huán)節(jié)是一位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)時(shí)，用9作分母， 循環(huán)節(jié)是兩位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù) 時(shí)，用99作分母，所以循環(huán)節(jié)是三位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)時(shí)，我們猜想是用999作分母， 分子也是一個(gè) 循環(huán)節(jié)組成的數(shù)。讓我們?cè)賮?lái)驗(yàn)證一下，如果這個(gè)猜想也是正確的，那么，我們就可以依次推下去了。
附圖{圖}
實(shí)驗(yàn)證明：我們的猜想是完全正確的。照此推下去，循環(huán)節(jié)是四位數(shù)字的純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)時(shí)，就要用 9999作分母了。實(shí)踐證明也是正確的。所以，純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法是：
用9、99、999……這樣的數(shù)作分母，9 的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同；用
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