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二元函數(shù)極限證明
二元函數(shù)極限證明設(shè)P=f(x,y),P0=(a,b) ，當(dāng)P→P0 時(shí)f(x,y)的極限是x,y同時(shí)趨向于a,b時(shí)所得到的稱為二重極限。
此外，我們還要討論x,y先后相繼地趨于a,b時(shí)的極限,稱為二次極限。
我們必須注意有以下幾種情形： ’
(1)兩個(gè)二次極限都不存在而二重極限仍有可能存在
(2)兩個(gè)二次極限存在而不相等
(3)兩個(gè)二次極限存在且相等，但二重極限仍可能不存在
2
函數(shù)f(x )當(dāng)x →X0時(shí)極限存在，不妨設(shè)：limf(x)=a(x →X0)
根據(jù)定義:對(duì)任意ε>0,存在δ>0,使當(dāng)|x-x0|<δ時(shí),有|f(x)-a|<ε
而|x-x0|<δ即為x屬于x0的某個(gè)鄰域U(x0;δ)
又因?yàn)棣庞腥我庑?故可取ε=1,則有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1
再取M=max{|a-1|,|a+1|},則有:存在δ>0,當(dāng)任意x屬于x0的某個(gè)鄰域U(x0;δ)時(shí),有|f(x)|
證畢
3首先，我的方法不正規(guī)， 其次，正確不正確有待考察。
1，y以 y=x^2-x 的路徑趨于0 Limited sin (x+y)/x^2 =Limited sinx^2/x^2=1 而 y=x 的路徑趨于0 結(jié)果是無(wú)窮大。
2，3 可以用類似的方法，貌似同濟(jì)書(shū)上是這么說(shuō)的，二元函數(shù)在該點(diǎn)極限存在，是P(x,y) 以任何方式趨向于該點(diǎn)。
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f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)
顯然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在
當(dāng)x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0處是波動(dòng)的 所以不存在
而當(dāng)x->0,y->0時(shí)
由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)
而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2
所以|f|<=|x|+|y|
所以顯然當(dāng)x->0,y->0時(shí)，f的極限就為0
這個(gè)就是你說(shuō)的，唯一不一樣就是非正常極限是不存在而不是你說(shuō)的
正無(wú)窮或負(fù)無(wú)窮或無(wú)窮，我想這個(gè)就可以了
就我這個(gè)我就線了好久了
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(一)時(shí)函數(shù)的極限：
以 時(shí) 和 為例引入.
介紹符號(hào): 的意義, 的直觀意義.
定義 ( 和 . )
幾何意義介紹鄰域 其中 為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語(yǔ)言介紹幾何意義.
例1驗(yàn)證 例2驗(yàn)證 例3驗(yàn)證 證 ……
(二)時(shí)函數(shù)的極限：
由 考慮 時(shí)的極限引入.
定義函數(shù)極限的“ ”定義.
幾何意義.
用定義驗(yàn)證函數(shù)極限的基本思路.
例4 驗(yàn)證 例5 驗(yàn)證 例6驗(yàn)證 證 由 =
為使 需有 為使 需有 于是, 倘限制 , 就有
例7驗(yàn)證 例8驗(yàn)證 ( 類似有 (三)單側(cè)極限:
1.定義：?jiǎn)蝹?cè)極限的定義及記法.
幾何意義: 介紹半鄰域 然后介紹 等的幾何意義.
例9驗(yàn)證 證 考慮使 的 2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系:
Th類似有: 例10證明: 極限 不存在.
例11設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)單調(diào). 若 存在, 則有
= §2 函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時(shí))
教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的`基本性質(zhì)。
教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號(hào)性、不等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性等。
教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計(jì)算。
教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。
教學(xué)方法：講練結(jié)合。
一、組織教學(xué)：
我們引進(jìn)了六種極限: , .以下以極限 為例討論性質(zhì). 均給出證明或簡(jiǎn)證.
二、講授新課：
(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保號(hào)性:
4.單調(diào)性( 不等式性質(zhì) ):
Th 4若 和 都存在, 且存在點(diǎn) 的空心鄰域,使 ， 都有 證 設(shè) = ( 現(xiàn)證對(duì) 有 )
註:若在Th 4的條件中, 改“ ”為“ ”, 未必就有 以 舉例說(shuō)明.
5.迫斂性:
6.四則運(yùn)算性質(zhì):( 只證“+”和“ ”)
(二)利用極限性質(zhì)求極限： 已證明過(guò)以下幾個(gè)極限：
(注意前四個(gè)極限中極限就是函數(shù)值 )
這些極限可作為公式用. 在計(jì)算一些簡(jiǎn)單極限時(shí), 有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.
利用極限性質(zhì)，特別是運(yùn)算性質(zhì)求極限的原理是：通過(guò)有關(guān)性質(zhì), 把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值, 即計(jì)算得所求極限.
例1( 利用極限 和 )
例2例3註:關(guān)于 的有理分式當(dāng) 時(shí)的極限.
例4 [ 利用公式 ]
例5例6例7
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