平行線的判定
教學建議
1、教材分析
(1)知識結構：
由平行線的畫法，引出平行線的判定公理（同位角相等，兩直線平行）．由公理推出：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．同旁內(nèi)角互補，兩條直線平行，這兩個定理．
(2)重點、難點分析 ：
本節(jié)的重點是：平行線的判定公理及兩個判定定理．一般的定義與第一個判定定理是等價的．都可以做判定的方法．但平行線的定義不好用來判定兩直線相交還是不相交．這樣，有必要借助兩條直線被第三條直線截成的角來判定．因此，這一個判定公理和兩個判定定理就顯得尤為重要了．它們是判斷兩直線平行的依據(jù)，也為下一節(jié)，學習平行線的性質(zhì)打下了基礎．
本節(jié)內(nèi)容的難點是：理解由判定公理推出判定定理的證明過程．學生剛剛接觸用演繹推理方法證明幾何定理或圖形的性質(zhì)，對幾何證明的意義還不太理解．有些同學甚至認為從直觀圖形即可辨認出的性質(zhì)，沒必要再進行證明．這些都使幾何的入門教學困難重重．因此，教學中既要有直觀的演示和操作，也要有嚴格推理證明的板書示范．創(chuàng)設情境，不斷滲透，使學生初步理解證明的步驟和基本方法，能根據(jù)所學知識在括號內(nèi)填上恰當?shù)墓砘蚨ɡ恚?/p>
2、教學建議
在平行線判定公理的教學中，應充分體現(xiàn)一條主線索：“充分實驗—仔細觀察—形成猜想—實踐檢驗—明確條件和結論．”
教師可演示教材中所示的教具，還可以讓每個學生都用三角板和直尺畫出平行線．在此過程中，注意角的變化情況．事實充分，學生可以理解，如果同位角相等，那么兩直線一定會平行．
平行線的判定公理后，有些同學可能會意識到“內(nèi)錯角相等，兩直線也會平行”．教師可組織學生按所給圖形進行討論．如何利用已知和幾何的公理、定理來證明這個顯然成立的事實．也可多叫幾個同學進行重復．逐步使學生欣賞到數(shù)學證明的嚴謹性．另一個定理的發(fā)現(xiàn)與證明過程也與此類似．
教學設計示例1
一、教學目標
1．了解推理、證明的格式，掌握平行線判定公理和第一個判定定理．
2．會用判定公理及第一個判定定理進行簡單的推理論證．
3．通過模型演示，即“運動—變化”的數(shù)學思想方法的運用，培養(yǎng)學生的“觀察—分析”和“歸納—總結”的能力．
二、學法引導
1．教師教法：啟發(fā)式引導發(fā)現(xiàn)法．
2．學生學法：獨立思考，主動發(fā)現(xiàn)．
三、重點·難點及解決辦法
（一）重點
在觀察實驗的基礎上進行公理的概括與定理的推導．
（二）難點
判定定理的形成過程中邏輯推理及書寫格式．
（三）解決辦法
1．通過觀察實驗，巧妙設問，解決重點．
2．通過引導正確思維，嚴格展示推理書寫格式，明確方法來解決難點、疑點．
四、課時安排
l課時
五、教具學具準備
三角板、投影膠片、投影儀、計算機．
六、師生互動活動設計
1．通過兩組題，復習舊知，引入新知．
2．通過實驗觀察，引導思維，概括出公理及定理的推導，并以練習進行鞏固．
3．通過教師提問，學生回答完成歸納小結．
七、教學步驟
（－）明確目標
教學建議
1、教材分析
(1)知識結構：
由平行線的畫法，引出平行線的判定公理（同位角相等，兩直線平行）．由公理推出：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．同旁內(nèi)角互補，兩條直線平行，這兩個定理．
(2)重點、難點分析 ：
本節(jié)的重點是：平行線的判定公理及兩個判定定理．一般的定義與第一個判定定理是等價的．都可以做判定的方法．但平行線的定義不好用來判定兩直線相交還是不相交．這樣，有必要借助兩條直線被第三條直線截成的角來判定．因此，這一個判定公理和兩個判定定理就顯得尤為重要了．它們是判斷兩直線平行的依據(jù)，也為下一節(jié)，學習平行線的性質(zhì)打下了基礎．
本節(jié)內(nèi)容的難點是：理解由判定公理推出判定定理的證明過程．學生剛剛接觸用演繹推理方法證明幾何定理或圖形的性質(zhì)，對幾何證明的意義還不太理解．有些同學甚至認為從直觀圖形即可辨認出的性質(zhì)，沒必要再進行證明．這些都使幾何的入門教學困難重重．因此，教學中既要有直觀的演示和操作，也要有嚴格推理證明的板書示范．創(chuàng)設情境，不斷滲透，使學生初步理解證明的步驟和基本方法，能根據(jù)所學知識在括號內(nèi)填上恰當?shù)墓砘蚨ɡ恚?/p>
2、教學建議
在平行線判定公理的教學中，應充分體現(xiàn)一條主線索：“充分實驗—仔細觀察—形成猜想—實踐檢驗—明確條件和結論．”
教師可演示教材中所示的教具，還可以讓每個學生都用三角板和直尺畫出平行線．在此過程中，注意角的變化情況．事實充分，學生可以理解，如果同位角相等，那么兩直線一定會平行．
平行線的判定公理后，有些同學可能會意識到“內(nèi)錯角相等，兩直線也會平行”．教師可組織學生按所給圖形進行討論．如何利用已知和幾何的公理、定理來證明這個顯然成立的事實．也可多叫幾個同學進行重復．逐步使學生欣賞到數(shù)學證明的嚴謹性．另一個定理的發(fā)現(xiàn)與證明過程也與此類似．
教學設計示例1
一、教學目標
1．了解推理、證明的格式，掌握平行線判定公理和第一個判定定理．
2．會用判定公理及第一個判定定理進行簡單的推理論證．
3．通過模型演示，即“運動—變化”的數(shù)學思想方法的運用，培養(yǎng)學生的“觀察—分析”和“歸納—總結”的能力．
二、學法引導
1．教師教法：啟發(fā)式引導發(fā)現(xiàn)法．
2．學生學法：獨立思考，主動發(fā)現(xiàn)．
三、重點·難點及解決辦法
（一）重點
在觀察實驗的基礎上進行公理的概括與定理的推導．
（二）難點
判定定理的形成過程中邏輯推理及書寫格式．
（三）解決辦法
1．通過觀察實驗，巧妙設問，解決重點．
2．通過引導正確思維，嚴格展示推理書寫格式，明確方法來解決難點、疑點．
四、課時安排
l課時
五、教具學具準備
三角板、投影膠片、投影儀、計算機．
六、師生互動活動設計
1．通過兩組題，復習舊知，引入新知．
2．通過實驗觀察，引導思維，概括出公理及定理的推導，并以練習進行鞏固．
3．通過教師提問，學生回答完成歸納小結．
七、教學步驟
（－）明確目標
掌握平行線判定公理和第一個判定定理及運用其進行簡單的推理論證．
（二）整體感知
以情境設計，引出課題，以模型演示，引導學生觀察，、分析、總結，講授新知，以變式訓練鞏固新知，在整節(jié)課中，較充分地體現(xiàn)了邏輯推理．
（三）教學過程
創(chuàng)設情境，引出課題
師：上節(jié)課我們學習了平行線、平行公理及推論，請同學們判斷下列語句是否正確，并說明理由（出示投影）．
1．兩條直線不相交，就叫平行線．
2．與一條直線平行的直線只有一條．
3．如果直線 、 都和 平行，那么 、 就平行．
學生活動：學生口答上述三個問題．
【教法說明】通過三個判斷題，使學生回顧上節(jié)所學知識，第1題在于強化平行線定義的前提條件“在同一平面內(nèi)”，第2題不僅回顧平行公理，同時使學生認識學習幾何，語言一定要準確、規(guī)范，同一問題在不同條件下，就有不同的結論，第3題復習鞏固平行公理推論的同時提示學生，它也是判定兩條直線平行的方法．
師：測得兩條直線相交，所成角中的一個是直角，能判定這兩條直線垂直嗎？根據(jù)什么？
學生：能判定垂直，根據(jù)垂直的定義．
師：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線是平行線，你有辦法測定兩條直線是平行線嗎？
學生活動：學生思考，如何測定兩條直線是否平行？
教師在學生思考未得結論的情況下，指出不能直接利用手行線的定義來測定兩條直線是否平行，必須找其他可以測定的方法，有什么方法呢？
學生活動：學生思考，在前面復習平行公理推論的情況下，有的學生會提出，再作一條直線 ，讓 ，再看 是否平行于 就可以了．
師：這種想法很好，那么，如何作 ，使它與 平行？若作出 后，又如何判斷 是否與 平行？
學生活動：學生思考老師的提問，意識到剛才的回答，似是而非，不能解決問題．
師：顯然，我們的問題沒有得到解決，為此我們來尋找另外一些判定方法，就是今天我們要學習的平行線的判定（板書課題）．
［板書］2.5平行線的判定（1）．
【教法說明】由垂線定義可以來判斷兩線是否垂直，學生自然想到要用平行線定義來判斷，但我們無法測定直線是否不相交，也就不能利用定義來判斷．這時，學生會考慮平行公理推論，此時教師只須簡單地追問，就讓學生弄清問題未能解決，由此引入新課內(nèi)容．
探究新知，講授新課
教師給出像課本第78頁圖2–20那樣的兩條直線被第三條直線所截的模型，轉(zhuǎn)動 ，讓學生觀察， 轉(zhuǎn)動到不同位置時， 的大小有無變化，再讓 從小變大，說出直線 與 的位置關系變化規(guī)律．
【教法說明】讓學生充分觀察，在教師的啟發(fā)式提問下，分析、思考、總結出結論．
圖1
學生活動： 轉(zhuǎn)動到不同位置時， 也隨著變化，當 從小變大時，直線 從原來在右邊與直線 相交，變到在左邊與 相交．
師：在這個過程中，存在一個與 不相交即與 平行的位置，那么 多大時，直線 呢？也就是說，我們?nèi)襞卸▋蓷l直線平行，需要找角的關系．
師：下面先請同學們回憶平行線的畫法，過直線 外一點 畫 的平行線 ．
學生活動：學生在練習本上完成，教師在黑板上演示（見圖1）．
師：由剛才的演示，請同學們考慮，畫平行線的過程，實際上是保證了什么？
圖2
學生：保證了兩個同位角相等．
師：由此你能得到什么猜想？
學生：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩條直線平行．
師：我們的猜想正確嗎？會不會有某一特定的時刻，即使同位角不等，而兩條直線也平行呢？
教師用計算機演示運動變化過程．在觀察實驗之前，讓學生看清 角和 角（如圖2），而后開始實驗，讓學生充分觀察并討論能得出什么結論．
學生活動：學生觀察、討論、分析．
總結了，當 時， 不平行 ，而無論 取何值，只要 ， 、 就平行．
圖3
教師引導學生自己表達出結論，并告訴學生這個結論稱為平行線的判定公理．
［板書］兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．
簡單說成：同位角相等，兩直線平行．
即：∵ （已知見圖3），
∴ （同位角相等，兩直線平行）．
【教法說明】通過實際畫圖和用計算機演示運動—變化過程，讓學生確信公理的正確．嘗試反饋，鞏固練習（出示投影）．
圖4
1．如圖4， ， ， 嗎？
2． ，當 時，就能使 ．
【教法說明】這兩個題目旨在鞏固所學的判定公理，對于第2題是已知結論，找出使它成立的題設，這是證明問題時應掌握的一種思考方法，要求學生逐步學會執(zhí)因?qū)Ч蛨?zhí)果索因的思考方法，教師在教學時要注意逐漸培養(yǎng)學生的這種數(shù)學思想．
（出示投影）
直線 、 被直線 所截．
圖5
1．見圖5，如果 ，那么 與 有什么關系？
2． 與 有什么關系？
3． 與 是什么位置關系的一對角？
學生活動：學生觀察，思考分析，給出答案： 時， ， 與 相等， 與 是內(nèi)錯角．
師： 與 滿足什么條件，可以得到 ？為什么？
學生活動： ，因為 ，通過等量代換可以得到 ．
師： 時，你進而可以得到什么結論？
學生活動： ．
師：由此你能總結出什么正確結論？
學生活動：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．
師：也就是說，我們得到了判定兩直線平行的另一個方法：
［板書］兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．
簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．
【教法說明】通過教師的啟發(fā)、引導式提問法，引導學生自己去發(fā)現(xiàn)角之間的關系，進而歸納總結出結論，主要采用探討問題的方式，能夠培養(yǎng)學生積極思考、善于動腦分析的良好學習習慣．
師：上面的推理過程，可以寫成
∵ （已知），
（對頂角相等），
∴ ．
［∵ （已證）］，
∴ （同位角相等，兩直線平行）．
【教法說明】這里的推理過程可以放手讓學生試著說，這樣才能使學生大膽嘗試，培養(yǎng)他們勇于進取的精神．
教師指出：方括號內(nèi)的“∵ ”，就是上面剛剛得到的“∴ ”，在這種情況下，方括號內(nèi)這一步可以省略．
嘗試反饋，鞏固練習（出示投影）
1．如圖1，直線 、 被直線 所截．
（1）量得 ， ，就可以判定 ，它的根據(jù)是什么？
（2）量得 ， ，就可以判定 ，它的根據(jù)是什么？
2．如圖2， 是 的延長線，量得 ．
（1）從 ，可以判定哪兩條直線平行？它的根據(jù)是什么？
（2）從 ，可以判定哪兩條直線平行？它的根據(jù)是什么？
圖1 圖2
學生活動：學生口答．
【教法說明】這組題旨在鞏固平行線的判定公理和判定方法的掌握，使學生熟悉并會用于解決簡單的說理問題．
變式訓練，培養(yǎng)能力
（出示投影）
1．如圖3所示，由 ，可判斷哪兩條直線平行？由 ，可判斷哪兩條直線平行？
2．如圖4，已知 ， ， 嗎？為什么？
圖3 圖4
學生活動：學生思考后回答問題．教師給以指正并啟發(fā)、引導得出答案．
【教法說明】這組題不僅讓學生認識變式圖形，加強識圖能力，同時培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，也就是培養(yǎng)學生從多角度、全方位考慮問題，從而得到一題多解．提高了學生的解題能力．
（四）總結擴展
2．結合判一定理的證明過程，熟悉表達推理證明的要求，初步了解推理證明的格式．
八、布置作業(yè)
課本第97頁習題2.2Ａ組第4、5、6（1）（2）題．
作業(yè) 答案
4．當 時，就能使 ．
5．（1）從 ，推出 ，根據(jù)同位角相等，兩直線平行．
（2）從 ，推出 ，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行．
6．（1）可斷定 ，根據(jù)同位角相等，兩直線平行．
（2）可斷定 ，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行．
平行線的判定