淺談艾爾布朗語(yǔ)義下的真謂詞論文
塔斯基提出了一階語(yǔ)言的一種解釋，這種解釋允許使用任何個(gè)體對(duì)象作為變?cè)娜≈担煌淖冊(cè)虺Ｔ赡芤韵嗤膶?duì)象作為它們的解釋。這種解釋現(xiàn)在已成為一階語(yǔ)言的標(biāo)準(zhǔn)解釋，被稱為塔斯基語(yǔ)義。在塔斯基提出這種語(yǔ)義之前，法國(guó)邏輯學(xué)家艾爾布朗在對(duì)其“基本定理”(現(xiàn)稱為艾爾布朗定理)的證明中，事實(shí)上也對(duì)一階語(yǔ)言提出了一種解釋。工在這種解釋中，變?cè)娜≈抵荒苁且浑A語(yǔ)言中的項(xiàng)，各個(gè)項(xiàng)的解釋就是項(xiàng)本身(因而，不同的項(xiàng)—特別地，不同的變?cè)虺Ｔ囟ū唤忉尀椴煌膶?duì)象)。這種解釋現(xiàn)在稱為一階語(yǔ)言的艾爾布朗語(yǔ)義。
從表面看來，艾爾布朗語(yǔ)義僅僅是塔斯基語(yǔ)義的一種特殊情形。因此，雖然艾爾布朗定理是一階邏輯中最基本的結(jié)果之一，但是艾爾布朗語(yǔ)義本身似乎并沒有引起邏輯學(xué)家足夠的重視。美國(guó)斯坦福大學(xué)的T.Hinrichs和M.Genesereth教授在文中的研究表明，艾爾布朗語(yǔ)義與塔斯基語(yǔ)義在可判定性、邏輯后承關(guān)系等方面是不同的。
上述種種差異自然是由不同語(yǔ)義解釋造成的。一階語(yǔ)言中任何概念只要依賴于語(yǔ)義都可能會(huì)在塔斯基語(yǔ)義和艾爾布朗語(yǔ)義下有所不同。而真謂詞作為語(yǔ)義中最基本的概念之一自然會(huì)被納入到上述兩種語(yǔ)義的框架之內(nèi)。真謂詞在艾爾布朗語(yǔ)義下是否具有不同于塔斯基語(yǔ)義中的表現(xiàn)呢?這個(gè)問題似乎在文獻(xiàn)中還沒有得到深入的研究，本文就是要想對(duì)這一問題進(jìn)行初步的探索，指出艾爾布朗語(yǔ)義下的真謂詞概念確實(shí)是值得注意的。
一、艾爾布朗語(yǔ)義
一階語(yǔ)言中的初始符號(hào)、項(xiàng)、公式等句法對(duì)象一如往常規(guī)定。需要補(bǔ)充的是，為了使艾爾布朗語(yǔ)義不至于過于平庸，這里約定一階語(yǔ)言中個(gè)體常元不空。注意，一階語(yǔ)言中的語(yǔ)句指的是閉公式，即不含自由變?cè)墓健?/p>
我們知道，在塔斯基語(yǔ)義中，為了能對(duì)語(yǔ)句進(jìn)行賦值，必須給出一定的模型對(duì)語(yǔ)句中的非邏輯符號(hào)做出解釋，同時(shí)還必須通過指派對(duì)變?cè)付▽?duì)象。這里主要的麻煩在于，雖然語(yǔ)句的賦值獨(dú)立于指派，但是一般情況下，必須在模型和指派下對(duì)所有的公式進(jìn)行賦值，然后才能在模型下對(duì)語(yǔ)句進(jìn)行賦值。艾爾布朗語(yǔ)義就不存在這樣的問題，我們可以直接對(duì)語(yǔ)句進(jìn)行賦值。
相應(yīng)于上述可滿足概念，可規(guī)定邏輯后承。如果任何滿足語(yǔ)句集叉的艾爾布朗模型也一定滿足語(yǔ)句A，那么就稱A是叉的一個(gè)邏輯后承，又可稱叉衍推出A。為明確起見，艾爾布朗模型下的可滿足及邏輯后承概念加前綴，而塔斯基語(yǔ)義下的可滿足及邏輯后承概念加前綴。
如文所指出，在塔斯基語(yǔ)義下，一階公式的可滿足性是半可判定的，但在艾爾布朗語(yǔ)義下，一階公式的可滿足性不是半可判定的;在塔斯基語(yǔ)義下，邏輯后承關(guān)系具有緊致性，但在艾爾布朗語(yǔ)義下，邏輯后承關(guān)系不具備緊致性;在塔斯基語(yǔ)義下，自然數(shù)結(jié)構(gòu)中的真語(yǔ)句是不能有窮可公理化的，但在艾爾布朗語(yǔ)義下，自然數(shù)結(jié)構(gòu)中的真語(yǔ)句是有窮可公理化的。
二、塔斯基T-模式
下面轉(zhuǎn)入本文的主題:艾爾布朗語(yǔ)義下的真謂詞。為此，先規(guī)定皮亞諾算術(shù)的一個(gè)形式語(yǔ)言，其中除等詞=外，還含有二元謂詞、三元謂詞、一元函數(shù)符S以及個(gè)體常元0。注意，在艾爾布朗語(yǔ)義下，因?yàn)橹挥心切┩耆嗤捻?xiàng)才是相等的，所以不能使用函數(shù)符來表示加法和乘法運(yùn)算(不然的話，甚至如0+0=0這樣的語(yǔ)句在艾爾布朗語(yǔ)義都是不可滿足的)。在L、中添加一元謂詞T得到的語(yǔ)言記為L(zhǎng)。這個(gè)語(yǔ)言就是我們考慮真謂詞的一階語(yǔ)言。除非特別聲明，以下所說項(xiàng)、公式等皆指L中的項(xiàng)、公式。用記號(hào)A表示公式A的哥德爾數(shù)。
為了便于比較，下面采用L的標(biāo)準(zhǔn)的塔斯基語(yǔ)義與艾爾布朗語(yǔ)義雙線并進(jìn)的方式逐步探討相關(guān)問題。首先，L的標(biāo)準(zhǔn)塔斯基語(yǔ)義解釋是自然數(shù)結(jié)構(gòu)以自然數(shù)集作為論域，以自然數(shù)集上的小于關(guān)系作為的解釋，以滿足有序組構(gòu)成的集合作為Add的'解釋，以滿足的有序組構(gòu)成的集合作為Molt的解釋，以后繼關(guān)系作為S的解釋，以自然數(shù)0作為解釋。
把語(yǔ)義解釋的范圍擴(kuò)大到魷中，在塔斯基語(yǔ)義中，N被認(rèn)為是L的底模型，除此之外，還需要對(duì)一元謂詞T做出解釋。當(dāng)然，T的解釋必定是自然數(shù)集N的某個(gè)子集，設(shè)為X。由此，就可以對(duì)魷中所有語(yǔ)句進(jìn)行賦值，賦值的規(guī)定如常，細(xì)節(jié)略去。下面使用X、A表示語(yǔ)句A在N與X構(gòu)成的解釋中為真。特別地，X當(dāng)且僅當(dāng)A屬于X。
這里，T不是一個(gè)普通的謂詞符，而是用來表示真謂詞的符號(hào)。那么，什么時(shí)候T才能被視作是真謂詞呢?按照塔斯基的思想，唯有下一模式對(duì)某個(gè)語(yǔ)言中的每個(gè)語(yǔ)句A都成立，才能認(rèn)為T是該語(yǔ)言的真謂詞:T`A當(dāng)且僅當(dāng)AC。此模式就是著名的塔斯基T-模式。 X作為T的解釋，很自然應(yīng)當(dāng)包含且只包含魷中所有在N與X構(gòu)成的解釋中為真的語(yǔ)句。換句話說，式子(C1)應(yīng)對(duì)L中每個(gè)語(yǔ)句A成立，只有這樣，T的解釋X才被認(rèn)為是L }.的真謂詞。這樣，把入代入到式子(1)中會(huì)導(dǎo)致矛盾。這個(gè)結(jié)論常被稱為“塔斯基定理”，而證明中所用語(yǔ)句入因它斷定它自己不真，故相當(dāng)于說謊者語(yǔ)句。
接下來轉(zhuǎn)入L的艾爾布朗語(yǔ)義。首先，M是艾爾布朗語(yǔ)義中L的底模型。然而，這個(gè)模型也可看作是L的真正意義上的一個(gè)模型，其中因?yàn)椴缓魏蜹形式的語(yǔ)句，因此謂詞符T實(shí)際被解釋為某種空謂詞。一般而言，我們會(huì)考慮這樣的模型M，它包含M，同時(shí)還包含了某些Tt形式的語(yǔ)句。在模型M下，對(duì)公式A規(guī)定相應(yīng)的賦值:當(dāng)且僅當(dāng)項(xiàng)作為符號(hào)串完全相同;當(dāng)且僅當(dāng)T屬于M。當(dāng)且僅當(dāng)屬于M型的原子公式類似規(guī)定，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何閉項(xiàng)其他如命題聯(lián)接詞型或存在量詞型語(yǔ)句類似規(guī)定。
這里順便指出，艾爾布朗語(yǔ)義下的塔斯基T-模式與塔斯基語(yǔ)義下的T-模式似乎并無太大的區(qū)別，但是對(duì)于所提出的T-模式的一個(gè)推廣，情況似乎并不明了，究竟如何在艾爾布朗語(yǔ)義下表達(dá)T-模式的這個(gè)推廣似乎是值得深入研究的問題。
三、亞布魯悖論
根據(jù)前一節(jié)的比較，可以看出塔斯基T-模式在L的艾爾布朗語(yǔ)義下的表達(dá)類似于在L的標(biāo)準(zhǔn)塔斯基語(yǔ)義下的表達(dá)，而塔斯基定理作為一個(gè)純粹的語(yǔ)義學(xué)定理，在艾爾布朗語(yǔ)義下同樣成立。所有這些都不會(huì)令人驚奇，因?yàn)長(zhǎng)的艾爾布朗語(yǔ)義與標(biāo)準(zhǔn)的塔斯基語(yǔ)義本來就是相當(dāng)接近的。然而，它們的差異是存在的。一個(gè)最明顯的差異就反映在L的艾爾布朗語(yǔ)義與非標(biāo)準(zhǔn)塔斯基語(yǔ)義上。美國(guó)邏輯學(xué)家亞布魯在文中提出了以他名字命名的悖論。這個(gè)悖論含有可數(shù)無窮多個(gè)語(yǔ)句:每個(gè)語(yǔ)句都斷定它后面的每個(gè)語(yǔ)句都不真。
現(xiàn)在，使用哥德爾算術(shù)化的方式不難在語(yǔ)言魷中對(duì)任意自然數(shù)。，尋找到語(yǔ)句Y，使得Y 在PA中等價(jià)于語(yǔ)句。注意，這里表示把，對(duì)應(yīng)的數(shù)字代入到Y(jié)中得到的公式的哥德爾數(shù)字。這實(shí)際上相當(dāng)于把亞布魯悖論形式化到了魷中，以后就用語(yǔ)句集{Y fin) I n是自然數(shù)}表示亞布魯悖論。我們考慮語(yǔ)句集是自然數(shù)與是自然數(shù)的并集，記這個(gè)集合為Y。
在L的艾爾布朗語(yǔ)義下，情況就有所不同。問題出在艾爾布朗語(yǔ)義中個(gè)體對(duì)象僅僅包含L中的閉項(xiàng)，而沒有哪個(gè)閉項(xiàng)能夠表達(dá)非標(biāo)準(zhǔn)模型中的非標(biāo)準(zhǔn)元。因而，在艾爾布朗語(yǔ)義下，沒有任何模型能滿足語(yǔ)句集Y。這一點(diǎn)與先前提到的H邏輯后承不滿足緊致性相關(guān)。事實(shí)上，不難看出是自然數(shù)的H邏輯后承，但它卻不是后者的T邏輯后承。我們?cè)俅慰吹剑琀邏輯后承要強(qiáng)于T邏輯后承。因而，Y可H衍推出邏輯矛盾，而不能T衍推出矛盾，就是在意料之中的了。
四、語(yǔ)言層次
眾所周知，為了突破塔斯基定理的限制，塔斯基本人采用了語(yǔ)言分層的方式來規(guī)定真謂詞。事實(shí)上，僅需把T解釋為L(zhǎng)中所有在N中為真的語(yǔ)句的哥德爾數(shù)構(gòu)成的集合X，則式子一定對(duì)中任意語(yǔ)句A都成立。在這個(gè)意義上，魷雖然不能含有它自身的真謂詞，但是它包含L、的真謂詞。L因而被稱為幾的元語(yǔ)言。
分層的想法同樣適用于艾爾布朗語(yǔ)義。回到先前提出的艾爾布朗語(yǔ)義中魷的底模型M。注意，M中不含任何帶真謂詞符的語(yǔ)句，因此T在M中實(shí)際被解釋為空謂詞。但是，若規(guī)定M,是M與所有使得MH A成立的語(yǔ)句TA的并集，則對(duì)魷的任意語(yǔ)句A，都有:當(dāng)且僅當(dāng)MA。特別地，對(duì)L的語(yǔ)句，當(dāng)且僅當(dāng)MA。因此，同樣包含了這樣的T，它被解釋為L(zhǎng)、的真謂詞。
對(duì)語(yǔ)言進(jìn)行分層規(guī)定真謂詞的做法歷來為學(xué)者所垢病，其中毛病之一如克里普克指出，這種做法無法對(duì)超窮的層次進(jìn)行規(guī)定�？死锲湛伺u(píng)的要點(diǎn)在于超窮層次要求對(duì)之前層次的真謂詞外延進(jìn)行累積，但真謂詞的外延累積會(huì)導(dǎo)致矛盾。這一點(diǎn)是熟知的事實(shí)。此處，我們說明類似的累積在艾爾布朗語(yǔ)義也同樣導(dǎo)致矛盾，甚至無需等到超窮層次，這種矛盾在第二層次就會(huì)產(chǎn)生。
能使層次一直進(jìn)行下去的辦法主要有兩種，一種是按克里普克的歸納構(gòu)造方法，修改模型上的賦值引入真值空缺另一種就是按古普塔和赫茲伯格的修正理論，在構(gòu)造模型的時(shí)候不進(jìn)行累積只進(jìn)行修正和。本文限于經(jīng)典邏輯，所以只考慮第二種辦法。
五、結(jié)論
前面的分析總結(jié)起來，有以下幾點(diǎn):塔斯基T-模式在艾爾布朗語(yǔ)義中的表達(dá)類似于塔斯基語(yǔ)義中的表達(dá)，而且使用說謊者悖論同樣能夠在艾爾布朗語(yǔ)義中得到塔斯基定理;亞布魯悖論在塔斯基非標(biāo)準(zhǔn)模型中可以得到滿足，但是在艾爾布朗語(yǔ)義中卻是不可滿足的;語(yǔ)言分層的思想在(經(jīng)典)塔斯基語(yǔ)義中。階段一般情況下不能繼續(xù)，但在艾爾布朗語(yǔ)義中甚至到第二階段就不得不終止。
可以看到，艾爾布朗語(yǔ)義下的真理論與塔斯基語(yǔ)義下的真理論既有共通之處，又有某些讓人感興趣的差異。當(dāng)然，這個(gè)對(duì)照分析還比較初步，我們主要的目的是拋磚引玉，希望引起讀者注意，艾爾布朗語(yǔ)義下的真理論本身還是有許多問題值得考慮的。
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