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從一對(duì)作用力與反作用力做功談起
摘 要：通過(guò)討論作用力與反作用力做功及其代數(shù)和在不同的參考系中的情況，可以得出力學(xué)體系保守力的判據(jù)。勢(shì)能屬于相互作用的保守物體體系的共有性。保守力做功等于勢(shì)能的減少的一般提法是不準(zhǔn)確的，一個(gè)保守力做的功，在一般情況下并不等于勢(shì)能的減少，一對(duì)保守力做的功才等于勢(shì)能的減少。本文通過(guò)對(duì)功能關(guān)系和參考系變換的討論，為加深對(duì)力學(xué)概念和規(guī)律的理解，提供了一種重要的方法。
關(guān)鍵詞：作用力 反作用力 參考系 保守力
功能關(guān)系
力學(xué)中的許多實(shí)際問(wèn)題，需要從成對(duì)相互作用力做功考慮。在功的定義dA=F·ds中質(zhì)點(diǎn)的位移ds與參考系有關(guān)，取不同的參考系，作用在質(zhì)點(diǎn)上的力F所做的功就可能不同。如果單方面考慮某力做功，而由于功的計(jì)算對(duì)參考系是任意的，那么不同的參考系就可能會(huì)計(jì)算出不同的功。因此，有時(shí)會(huì)得出荒謬的結(jié)論，并且有些實(shí)際問(wèn)題的處理難以進(jìn)行。
作用力、反作用力做功與參考系的選擇有關(guān)，一對(duì)作用力與反作用力所做功的代數(shù)和與參考系的選擇無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)兩質(zhì)點(diǎn)間一對(duì)作用力與反作用力所做的總功與參考系的選擇無(wú)關(guān)，而是等于其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)受的力沿著該質(zhì)點(diǎn)相對(duì)另一質(zhì)點(diǎn)所移動(dòng)的路徑上的功。勢(shì)能屬于相互作用的保守力物體的共有性。保守力做功等于勢(shì)能的減少的一般提法是不準(zhǔn)確的，一個(gè)保守力做的功，在一般情況下并不等于勢(shì)能的減少，一對(duì)保守力所做的總功才等于勢(shì)能的減少。通過(guò)功能之間的轉(zhuǎn)換和參考系變換的討論，為我們加深對(duì)力學(xué)概念和規(guī)律的理解，提供了一種重要的方法。
一、作用力與反作用力做功與參考系的選取
在力學(xué)中，如果研究的對(duì)象不是一個(gè)物體，而是兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體組成的系統(tǒng)，總會(huì)遇到一對(duì)作用力與反作用力或多對(duì)作用力與反作用力問(wèn)題。在解決這些問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常涉及作用力與反作用力做功問(wèn)題。根據(jù)牛頓第三定律可知，作用力與反作用力總是同時(shí)在同一條直線上，大小相等、方向相反；而作用力與反作用力做功卻不總是大小相等、正負(fù)相反，其功的代數(shù)和也不總是為零。那么，作用力與反作用力做功及其代數(shù)和與參考系的選取有什么關(guān)系呢？
1.作用力、反作用力做功與參考系的選取有關(guān)
某一質(zhì)點(diǎn)在外力F的作用下發(fā)生無(wú)限小的位移dr，則該力所做元功 dA=F·dr。在質(zhì)點(diǎn)組中任選兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)1和2，假設(shè)質(zhì)點(diǎn)1受質(zhì)點(diǎn)2的作用力為F12 ，反作用力為F21，即F12 = - F21。有兩個(gè)參考系，其中K系為不動(dòng)參考系，K'系相對(duì)于K系運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)1和質(zhì)點(diǎn)2在K系中的位置矢量為r1和r2；在K'系中的位置矢量為r1'和r2'；K'系的原點(diǎn)O'相對(duì)于K系的位置矢量為ro'。
質(zhì)點(diǎn)1在F12作用下在K系中發(fā)生位移dr1 ，則其元功為dA1 = F12·dr1 （1）
質(zhì)點(diǎn)2在F21作用下在K系中發(fā)生位移dr2，則其元功為dA2 = F21·dr2 （2）
且dA1= F12·dr1 ≠F12·dr1'
dA2= F21·dr2≠F21·dr2'
即作用力和反作用力在K 系中所做的功與在K'系中所做的功不同。由此可知，作用力和反作用力做功與參考系的選取是有關(guān)的。
2.作用力、反作用力做功的代數(shù)和與參考系的選取無(wú)關(guān)
（1）在K 系中，作用力、反作用力做功的代數(shù)和
由（1） 、（2） 式和作用力、反作用力做功的代數(shù)和可知，dA=dA1 + dA2 =F12·dr1 + F21·dr2
由于F12=- F21
因此dA=F12·dr1-F12·dr2=F12·d（ r1-r2）
式中的r1 - r2是質(zhì)點(diǎn)1 相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)2 的位置矢量，令r = r1 - r2 ，則dr=d（ r1 -r2），dr表示質(zhì)點(diǎn)1 相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)2 的元位移。 則
dA= F12·dr（3）
（2）在K'系中，作用力、反作用力做功的代數(shù)和
由于dA'= F12·dr1'+ F21·dr2'=F12·dr1'- F12·dr2'= F12·d （r1'- r2'）
又r1'- r2'=r1 - r2=r
所以dA'=F12·dr（4）
比較（3） 、（4） 式有 dA=dA'
由以上分析可得出結(jié)論：作用力、反作用力做功的代數(shù)和與參考系的選取無(wú)關(guān)；一對(duì)相互作用力的元功的代數(shù)和， 等于作用于其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力與該質(zhì)點(diǎn)相對(duì)另一質(zhì)點(diǎn)的元位移的點(diǎn)積；計(jì)算一對(duì)相互作用力所做的總功，只需把其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)選作參照系， 視它為靜止， 它受到的作用力所做的功必定為零， 問(wèn)題歸為反作用力對(duì)另一質(zhì)點(diǎn)所做的功， 從而把計(jì)算一對(duì)相互作用力的總功轉(zhuǎn)化為計(jì)算其中單個(gè)力所做的功。換句話說(shuō)， 一對(duì)相互作用力所做的功， 等于作用于其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力在相對(duì)位移上所做的功。
（3）進(jìn)一步討論
在公式dA = F12·dr 中，令F12=- F21=F， 現(xiàn)將F及dr分別向r 方向及垂直于r 的方向進(jìn)行分解，對(duì)于F而言，由于其方向與r 是共線的，只有r 上的分量Fr=F，即F=Fr0 （ r0 為r 向上的單位矢量）。
對(duì)于dr而言，dr 可分解為r 方向上drr1 ，和與r 相垂直的drr2。由于F 只在分量drr1上做功，而drr1 = drr0 ，于是有 dA= F r0·drr0= Fdr。 （5）
即兩質(zhì)點(diǎn)間作用力和反作用力做功的代數(shù)和決定于相互作用力和兩質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)距離的改變；而其正負(fù)應(yīng)由F 和dr 的正負(fù)決定。僅當(dāng)兩質(zhì)點(diǎn)沿力的方向無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，作用力與反作用力做功的代數(shù)和等于零。
二、利用作用力與反作用力做功來(lái)判據(jù)保守力
關(guān)于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)受保守力作用的判據(jù)，有三種等效的表述：
一是保守力做功與路徑無(wú)關(guān)； 二是沿任一閉合回路一周保守力作用功為零∮ L ·d= 0 ；
三是保守力滿足▽×= 0。
可見(jiàn)，判斷力學(xué)體系力是否為保守力，不能像單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的保守力判據(jù)那樣只分析某一個(gè)力是否為保守力，而應(yīng)分析一對(duì)作用力與反作用力做功，看其是否與兩質(zhì)點(diǎn)相對(duì)路徑無(wú)關(guān)，而僅與兩質(zhì)點(diǎn)相對(duì)始末位置有關(guān)。若是，該對(duì)力為保守力；否則，該對(duì)力為非保守力。
三、勢(shì)能屬相互作用的保守力物體體系的共有性
每當(dāng)講授勢(shì)能概念時(shí)，我們對(duì)共有性的說(shuō)明通常僅停留于指出期間的作用力是相互的，這一解釋難以令人信服。作用力既然是相互的， 為什么在計(jì)算勢(shì)能時(shí)， 只計(jì)物體一方受作用力的功呢？如果是指某一個(gè)作用力的功，這個(gè)功有可能隨參照系的不同而改變。我們知道，勢(shì)能的增量在數(shù)值上應(yīng)該等于保守力做功的負(fù)值， 即
ΔEp = - W保 （6）
式中， W保 應(yīng)理解為成對(duì)保守力做功之和， 即一對(duì)保守力做功之和的負(fù)值等于勢(shì)能的增量
ΔEp = - （ W保守作用力+ W保守反作用力）（7）
所以，嚴(yán)格地說(shuō)， 用保守力做功表述勢(shì)能的增量，應(yīng)該用公式（7） ，而不是公式（6） 。
現(xiàn)在， 我們?nèi)匀灰灾亓?shì)能為例， 討論物體和地球?qū)χ亓?shì)能的共有性問(wèn)題。根據(jù)前面的結(jié)論， 物體和地球組成的體系， 相互作用的一對(duì)保守力做功之代數(shù)和等于作用于物體上的重力在相對(duì)位移上所做的功，即可以將地球視為靜止， 物體相對(duì)于地球發(fā)生位移的過(guò)程中， 重力所做的功�？梢�(jiàn)， 通常我們所講的重力物體所做的功的負(fù)值等于重力勢(shì)能的增量， 實(shí)際上是指物體和地球組成的系統(tǒng)， 一對(duì)相互作用的保守力的代數(shù)和的負(fù)值等于系統(tǒng)重力勢(shì)能的增量。由此說(shuō)明， 在建立重力勢(shì)能概念時(shí)， 已經(jīng)把作用保守力和反作用保守力所做的功都已計(jì)入。因此， 重力勢(shì)能屬物體和地球組成的體系所共有。
一對(duì)作用力與反作用力所做的元功之和與參考系的選取無(wú)關(guān)是非常重要的概念，因?yàn)樯婕安煌问降哪芰恐g的轉(zhuǎn)化過(guò)程與參考系的選取是無(wú)關(guān)的，在不同的參考系中應(yīng)看到相同的結(jié)果。所以討論不同形式的能量之間的轉(zhuǎn)化時(shí)，機(jī)械功應(yīng)用一對(duì)作用力與反作用力所做的元功之和來(lái)度量。
四、成對(duì)相互作用非保守力的功在功能關(guān)系中的作用
考慮由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)組， 功與能具有下列關(guān)系
Fi · dri + dA非保守力= d（Ek+ Ep ） （8）
式中， Ek與Ep分別表示系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能， Fi · dri 為系統(tǒng)外力的功之和，dA非保守力為非保守作用力與反作用力做功之和。上式表明，在慣性系中外力所做的功與系統(tǒng)內(nèi)部成對(duì)非保守力所做的功之和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量。
如果外力不做功， 即
Fi · dri = 0（9）
則 dA非保守力= d（ Ek+ Ep） （10）
當(dāng)d A非保守力 當(dāng)dA非保守力>0時(shí)，系統(tǒng)機(jī)械能增加。炮彈爆炸就屬于此種情形。雖然許多場(chǎng)合很難找出相互作用的非保守力的具體形式， 但由于dA非保守力與參照系無(wú)關(guān)， 我們?nèi)匀豢梢院侠淼匕裠A非保守力解釋為機(jī)械能與其他形式能量之間的轉(zhuǎn)化的量度。
由于產(chǎn)生滑動(dòng)摩擦力的兩物體必定有相對(duì)位移，并且有相對(duì)位移的方向與滑動(dòng)摩擦力的方向平行的結(jié)果。所以相互作用著的靜摩擦力做功的代數(shù)和必定為零。
上述情況下，作用力與反作用力做功問(wèn)題的討論，使我們進(jìn)一步確信了前面提出的關(guān)于作用力與反作用力做功代數(shù)和的計(jì)算的正確性，特別是當(dāng)有相互作用的一對(duì)或幾對(duì)物體相對(duì)于已選定的參照系都在運(yùn)動(dòng)時(shí)，此方法能幫助我們迅速而準(zhǔn)確地計(jì)算。
五、小 結(jié)
通過(guò)一對(duì)作用力與反作用力做功的研究，談到了作用力、反作用力做功與參考系的選擇有關(guān)，一對(duì)作用力與反作用力所做功的代數(shù)和與參考系的選擇無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)兩質(zhì)點(diǎn)間一對(duì)作用力與反作用力所做的總功與參考系的選擇無(wú)關(guān)，等于其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)受的力沿著該質(zhì)點(diǎn)相對(duì)另一質(zhì)點(diǎn)所移動(dòng)的路徑上的功。并且更近一步得出了以下結(jié)論：力學(xué)體系保守力的判據(jù)；勢(shì)能屬于相互作用的保守力物體的共有性；保守力做功等于勢(shì)能的減少量的一般提法是不準(zhǔn)確的，一個(gè)保守力做的功，在一般情況下并不等于勢(shì)能的減少；一對(duì)保守力所做的總功才等于勢(shì)能的減少；功能之間的轉(zhuǎn)換和參考系變換的關(guān)系。
參考文獻(xiàn)
[1]吳延斌.作用力與反作用力做功與參考系的選取[J].沈陽(yáng)師范學(xué)院報(bào)，2000（2）.
[2]李惠玲.關(guān)于作用力與反作用力的做功問(wèn)題[J].物理通報(bào)，1997（4）.
[3]漆安慎，杜嬋英.力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1998.
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