物理極值問題的求解方法2
物理極值問題的求解方法2
三、用一元二次方程判別式求解極值問題
在中學(xué)代數(shù)中曾學(xué)過，對于一個一元二次方程，當(dāng)它的判別式B2-4AC≥0時，此方程有實數(shù)解。若我們在解物理習(xí)題時能選擇適當(dāng)?shù)奈锢砹孔鳛槲粗�。使其成為一個一元二次方程，巧妙地利用判別式可解決極值問題。
例1.一個質(zhì)量為m的電子與一個靜止的質(zhì)量為M的原子發(fā)生正碰，碰后原子獲得一定速度，并有一定的能量E被貯存在這個原子內(nèi)部。求電子必須具有的最小初動能是多少？
分析與解：設(shè)電子碰前的速度為υ1，碰后的速度為，靜止的原子被碰后的速度為。
由動量守恒定律有 (1)
由能量守恒有 (2)
在以上兩個方程中，有三個未知數(shù)，υ1、、，一般的同學(xué)認(rèn)為少一個方程，難以求解。但由（1）式解出代入（2）
可得：
進(jìn)一步整理可得：(M+m)m-2m2υ1+(m-M)mυ12+2ME=0
此式是關(guān)于的一元二次方程，因電子碰后的速度必為實數(shù)，所以此方程的判別式B2-4AC≥0 即
4m4-4(M+m)m[(m-M)m+2ME]≥0
根據(jù)上式整理可得：
所以電子必須具有的最小的初動能是
例2.如圖2-1所示，頂角為2θ的光滑圓錐，置于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場中，現(xiàn)有一個質(zhì)量為m，帶電量為+q的小球，沿圓錐面在水平面作勻速圓周運動，求小球作圓周運動的軌道半徑。
分析與解：小球在運動時將受重力mg，圓錐面對球的彈力N，及洛侖茲力f的作用，如圖2-2所示。設(shè)小球作勻速圓周運動的軌道半徑為R，速率為υ。
由正交分解可得
聯(lián)立（1）、（2）試可得
上式有υ、R兩個未知量，似乎不可解，但因為是求極值問題，可用一元二次方程判別式求解。因為υ有實數(shù)解，由B2-4AC≥0
即
∴小球作圓周運動的最小半徑為
例3.在擲鉛球的運動中，如果鉛球出手時距地面的高度為h，速度為υ0，求υ0與水平方向成何角度時，水平射程最遠(yuǎn)？并求此最大的水平射程Xmax。
分析與解：以出手點為坐標(biāo)原點，可分別列出水平方向與豎直方向的位移方程。
上式為關(guān)于tgθ的一元二次方程。若tgθ存在實數(shù)解，則判別式B2-4AC
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